Exercício 4.64 Considere um cone circular reto incrito de “cabeça para baixo” dentro de um outro cone circular reto. As bases dos cones são paralelas e o vértice do cone inscrito está sobre o centro da base do cone maior. O cone maior tem raio da base 6 e altura 12. Quais os valores de altura e raio da base do cone menor que lhe proporcionam o maior volume possível? E quanto ao menor volume possível?
Passo 1
O enunciado descreve dois cones retos circulares com bases paralelas: o cone maior tem raio
e altura
, e há um cone menor “de cabeça para baixo” inscrito no interior, com vértice no centro da base do maior e base inscrita na superfície lateral do maior. O problema é de otimização: usaremos semelhança de triângulos para expressar o raio
do cone menor em função de sua altura
e depois maximizaremos o volume via derivada.
Passo 2
Pelo desenho, o plano da base do cone menor está a uma distância
abaixo da base do cone maior (altura total
), ou seja, a coordenada desse plano mede
a partir do vértice do cone grande. Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone grande e o triângulo correspondente ao corte:
Passo 3
O volume do cone menor em função de
é
Para achar extremos, derivamos:
A condição
leva a
cuja solução relevante em
é
Substituindo em dá
Substituindo em
O volume máximo é então
Passo 4
Nos extremos do intervalo fechado
ou
o volume degenera a zero. Logo, não há mínimo positivo interno: o menor volume possível tende a
nos casos degenerados (altura
ou
).
Resposta
Altura máxima:
, raio correspondente
, com volume máximo
.
O menor volume possível é (casos degenerados em que
ou
).
O menor volume possível é