Exercício 4.69 Deseja-se construir um recipiente cilíndrico capaz de conter determinado volume de líquido. O \mathrm{~cm}^{2} do material utilizado na tampa e no fundo custa R \ 3,00 e o utilizado na lateralR $2,00$. Obtenha uma relação simples entre o raio da base e a altura do recipiente, de modo que o custo de construção seja mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para construir um cilindro de raio r e altura h que comporte um volume fixo V. O material da tampa e do fundo custa R$3,00 por c m^{2} e o da lateral custa R$ 2,00 por c m^{2}. Queremos encontrar uma relação simples entre r e h que torne o custo total mínimo.

Passo 2

O volume V de um cilindro satisfaz
V = \pi\,r^{2}h.
Como V é dado, podemos resolver para h:
h = \frac{V}{\pi\,r^{2}}.

Passo 3

O custo total C é a soma do custo da tampa e do fundo mais o custo da lateral:
– Área da tampa e do fundo: 2\pi r^{2}. Custo por c m^{2} =3, logo custo = 3\cdot2\pi r^{2}=6\pi r^{2}.
– Área lateral: 2\pi r h. Custo por c m^{2} =2, logo custo = 2\cdot2\pi r h=4\pi r h.
Portanto,
C(r,h)=6\pi r^{2}+4\pi r\,h.

Passo 4

Substituindo h=\tfrac{V}{\pi r^{2}} em C(r,h), temos
C(r)=6\pi r^{2}+4\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}} =6\pi r^{2}+\frac{4V}{r}.

Passo 5

Para minimizar, derivamos C(r) em relação a r e igualamos a zero:
C'(r)=12\pi r-\frac{4V}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 12\pi r=\frac{4V}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad r^{3}=\frac{V}{3\pi}.
Então
h=\frac{V}{\pi r^{2}} =\frac{V}{\pi}\,\biggl(\frac{3\pi}{V}\biggr)^{2/3} =3r.

Resposta

A relação que minimiza o custo é h = 3r.

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