Exercício 4.71 Certo caminhão, a 300 km a leste de um carro, desloca-se para oeste à velocidade constante de 30 km/h. Enquanto isso, o carro desloca-se para norte com velocidade constante de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Em que instante o carro e o caminhão estarão mais próximos?

Passo 1

O enunciado nos dá um caminhão e um carro em movimento retilíneo e perpendicular: no instante inicial t=0 o caminhão está 300 km a leste do carro, deslocando-se para o oeste a 30 km/h, enquanto o carro segue para o norte a 60 km/h. O conteúdo que vamos usar é modelagem de posições no plano, construção da função distância entre os dois móveis e otimização dessa função pela derivada.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o carro, no instante t=0, está na origem (0,0). Para t em horas:
A posição do carro é
x_C(t)=0,\quad y_C(t)=60t.
A posição do caminhão é
x_T(t)=300-30t,\quad y_T(t)=0.

Passo 3

A distância D(t) entre carro e caminhão satisfaz
D(t)^2 = \bigl(x_T(t)-x_C(t)\bigr)^2 + \bigl(y_T(t)-y_C(t)\bigr)^2.
Substituindo as componentes:
D(t)^2 = (300-30t)^2 + (0-60t)^2 =300^2 -2\cdot300\cdot30\,t +30^2t^2 +60^2t^2 =90000 -18000t +4500t^2.

Passo 4

Para minimizar D(t) basta minimizar D(t)^2. Calculamos a derivada
\frac{d}{dt}\bigl(D^2(t)\bigr) =-18000 +2\cdot4500\,t = -18000 +9000\,t.
Igualando a zero depara-se com o ponto crítico:
-18000 +9000\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{18000}{9000} = 2\\ \text{h}.

Passo 5

Como o coeficiente de t^2 em D^2(t) é 4500>0, o ponto crítico em t=2 h é realmente um mínimo.

Resposta

O carro e o caminhão estarão mais próximos 2 horas após o instante inicial.

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