Exercício 4.71 Certo caminhão, a 300 km a leste de um carro, desloca-se para oeste à velocidade constante de 30 km/h. Enquanto isso, o carro desloca-se para norte com velocidade constante de
. Em que instante o carro e o caminhão estarão mais próximos?
Passo 1
O enunciado nos dá um caminhão e um carro em movimento retilíneo e perpendicular: no instante inicial
o caminhão está 300 km a leste do carro, deslocando-se para o oeste a
km/h, enquanto o carro segue para o norte a
km/h. O conteúdo que vamos usar é modelagem de posições no plano, construção da função distância entre os dois móveis e otimização dessa função pela derivada.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o carro, no instante
, está na origem
. Para
em horas:
A posição do carro é
A posição do carro é
A posição do caminhão é
Passo 3
A distância
entre carro e caminhão satisfaz
Substituindo as componentes:
Passo 4
Para minimizar
basta minimizar
. Calculamos a derivada
Igualando a zero depara-se com o ponto crítico:
Passo 5
Como o coeficiente de
em
é
, o ponto crítico em
h é realmente um mínimo.
Resposta
O carro e o caminhão estarão mais próximos
horas após o instante inicial.