Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{ccc}-1 & -3 & -3 \\\\ 2 & 6 & 1 \\\\ 3 & 8 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -3 & -3 \\[6pt] 2 & 6 & 1 \\[6pt] 3 & 8 & 3 \end{pmatrix}.
Para isso, vamos usar a definição de inversa via determinante e matriz adjunta:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).]

Passo 2

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) = (-1)\begin{vmatrix}6 & 1 \\[3pt] 8 & 3\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}2 & 1 \\[3pt] 3 & 3\end{vmatrix} +(-3)\begin{vmatrix}2 & 6 \\[3pt] 3 & 8\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}6 & 1 \\\\ 8 & 3\end{vmatrix} = 6\cdot3 - 1\cdot8 = 10, \quad \begin{vmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 3\end{vmatrix} = 2\cdot3 - 1\cdot3 = 3,
\begin{vmatrix}2 & 6 \\\\ 3 & 8\end{vmatrix} = 2\cdot8 - 6\cdot3 = -2.
Substituindo,
\det(A) = (-1)\cdot10 + 3\cdot3 + (-3)\cdot(-2) = -10 + 9 + 6 = 5.]

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C, onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor correspondente. Calculando todos: M_{11}=10, M_{12}=3, M_{13}=-2 M_{21}=15, M_{22}=6, M_{23}=1 M_{31}=15, M_{32}=5, M_{33}=0 Logo a matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} (+1)10 & (-1)3 & (+1)(-2) \\[4pt] (-1)15 & (+1)6 & (-1)1 \\[4pt] (+1)15 & (-1)5 & (+1)0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3 & -2 \\[3pt] -15 & 6 & -1 \\[3pt] 15 & -5 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Formar a adjunta como a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 10 & -15 & 15 \\[3pt] -3 & 6 & -5 \\[3pt] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 10 & -15 & 15 \\[3pt] -3 & 6 & -5 \\[3pt] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\[3pt] -\tfrac{3}{5} & \tfrac{6}{5} & -1 \\[3pt] -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\[3pt] -\tfrac{3}{5} & \tfrac{6}{5} & -1 \\[3pt] -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0 \end{pmatrix}.]

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