Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -2 & -3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
O conteúdo é inversão de matriz 3\times3 por eliminação de Gauss–Jordan. Para isso, vamos montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e usar operações elementares de linha até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\bigl[A\mid I\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -2 & -3 & \mid & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para zerar as entradas abaixo de A_{11}, fazemos
R_2 \leftarrow R_2 + R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 + R_1.

Passo 3

Após essas operações, a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \mid & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & -2 & \mid & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, usamos
R_3 \leftarrow R_3 + 2\,R_2
para zerar a entrada em posição (3,2).

Passo 4

Depois de R_3 \leftarrow R_3 + 2\,R_2, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \mid & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & \mid & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Agora normalizamos a terceira linha para ter pivot 1 em A_{33}, usando
R_3 \leftarrow \tfrac12\,R_3.

Passo 5

Após R_3 \leftarrow \tfrac12\,R_3, a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \mid & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & \tfrac32 & 1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.
Para completar a inversa, eliminamos as entradas acima do pivot em coluna 3 com
R_1 \leftarrow R_1 - R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_3.

Passo 6

Depois dessas operações, a parte esquerda vira a identidade e a direita é A^{-1}:
\bigl[I\mid A^{-1}\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \mid & -\tfrac12 & -1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & \mid & -2 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & \tfrac32 & 1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & -1 & -\tfrac12\\\\ -2 & -1 & -1\\\ \tfrac32 & 1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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