Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{3}+3 x}{x^{2}-x-12}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -3}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12}.
Informações dadas no problema:
  • A função é a razão de dois polinômios, numerador x^{3}+3x e denominador x^{2}-x-12.
  • O ponto onde se aproxima é x=-3.

Passo 2

Teste de substituição direta (para ver se dá um valor finito imediato). Avaliar numerador e denominador em x=-3:
\text{numerador: }(-3)^{3}+3(-3)=-27-9=-36,
\text{denominador: }(-3)^{2}-(-3)-12=9+3-12=0.
Como o numerador tende a -36 (não nulo) e o denominador tende a 0, a forma é \dfrac{\text{constante não nula}}{0}ã, o que indica que a função fica desboundeda (tende para infinidade) quando x se aproxima de -3. Porém, para afirmar corretamente o comportamento é preciso analisar os sinais à esquerda e à direita de -3 (limites laterais), porque podem ser sinais opostos e então o limite bilateral não existir.

Passo 3

Fatorar polinômios para facilitar a análise de sinais e comportamento assintótico próximo de x=-3.
Fatorando o numerador:
x^{3}+3x = x(x^{2}+3).
Observação: x^{2}+3>0 para todo x, portanto o sinal do numerador é o sinal de x.
Fatorando o denominador:
x^{2}-x-12=(x-4)(x+3).
Note que o fator x+3 é exatamente o fator que se anula em x=-3.

Passo 4

Determinar o sinal de numerador e denominador perto de x=-3 (isto dá os sinais das duas vizinhanças).
  • Numerador: como é x(x^{2}+3) e x^{2}+3>0, o sinal do numerador é o sinal de x. Para x perto de -3, x é negativo, logo o numerador é negativo e tende para -36.
  • Denominador: (x-4)(x+3). O fator x-4 quando x\to-3 tende para -7 (constante negativa). O fator x+3 muda de sinal ao atravessar -3: é negativo para x<-3 e positivo para x>-3. Portanto:
    • Para x<-3: (x-4) é negativo e (x+3) é negativo, logo o produto é positivo.
    • Para x>-3: (x-4) é negativo e (x+3) é positivo, logo o produto é negativo.

Passo 5

Observar o comportamento assintótico (ordem de grandeza) perto de x=-3. Como (x-4) tende para o número -7 não nulo, a fração tem comportamento equivalente a uma constante dividida por (x+3). Mais precisamente:
\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12} = \frac{x(x^{2}+3)}{(x-4)(x+3)} \longrightarrow \frac{-36}{-7\,(x+3)}=\frac{36}{7}\cdot\frac{1}{x+3} \quad\text{quando }x\to-3,
onde, na passagem, usamos que x^{3}+3x\to -36 e x-4\to -7. O comportamento de \dfrac{1}{x+3} determina a divergência: quando x+3 tende a 0 pela esquerda é grande negativo, pela direita é grande positivo.

Passo 6

Calcular os limites laterais usando a análise de sinais e o comportamento assintótico:
  • Limite pela esquerda ( x\to -3^-): aqui x+3<0 pequeno em módulo, e a constante \dfrac{36}{7}>0. Assim \dfrac{36}{7}\cdot\dfrac{1}{x+3}\to -\infty. Logo
\lim_{x\to -3^-}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12}=-\infty.
  • Limite pela direita ( x\to -3^+): aqui x+3>0 pequeno positivo, então \dfrac{36}{7}\cdot\dfrac{1}{x+3}\to +\infty. Logo
\lim_{x\to -3^+}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12}=+\infty.

Passo 7

Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (um é -\infty e o outro é +\infty), o limite quando x\to -3 não existe (nem como número finito nem como infinito único).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -3^-}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to -3^+}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^{3}+3x}{x^{2}-x-12}\\ \text{não existe}ã