Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas no problema:
- A função é a razão de dois polinômios, numerador
e denominador . - O ponto onde se aproxima é
.
Passo 2
Teste de substituição direta (para ver se dá um valor finito imediato). Avaliar numerador e denominador em
:
Como o numerador tende a
(não nulo) e o denominador tende a
, a forma é
, o que indica que a função fica desboundeda (tende para infinidade) quando
se aproxima de
. Porém, para afirmar corretamente o comportamento é preciso analisar os sinais à esquerda e à direita de
(limites laterais), porque podem ser sinais opostos e então o limite bilateral não existir.
Passo 3
Fatorar polinômios para facilitar a análise de sinais e comportamento assintótico próximo de
.
Fatorando o numerador:
Observação:
para todo
, portanto o sinal do numerador é o sinal de
.
Fatorando o denominador:
Note que o fator
é exatamente o fator que se anula em
.
Passo 4
Determinar o sinal de numerador e denominador perto de
(isto dá os sinais das duas vizinhanças).
-
Numerador: como é
e , o sinal do numerador é o sinal de . Para perto de , é negativo, logo o numerador é negativo e tende para . -
Denominador:
. O fator quando tende para (constante negativa). O fator muda de sinal ao atravessar : é negativo para e positivo para . Portanto: - Para
: é negativo e é negativo, logo o produto é positivo. - Para
: é negativo e é positivo, logo o produto é negativo.
- Para
Passo 5
Observar o comportamento assintótico (ordem de grandeza) perto de
. Como
tende para o número
não nulo, a fração tem comportamento equivalente a uma constante dividida por
. Mais precisamente:
onde, na passagem, usamos que
e
. O comportamento de
determina a divergência: quando
tende a
pela esquerda é grande negativo, pela direita é grande positivo.
Passo 6
Calcular os limites laterais usando a análise de sinais e o comportamento assintótico:
- Limite pela esquerda (
): aqui pequeno em módulo, e a constante . Assim . Logo
- Limite pela direita (
): aqui pequeno positivo, então . Logo
Passo 7
Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (um é
e o outro é
), o limite quando
não existe (nem como número finito nem como infinito único).