Exercício 4. Calcule: (b) (-3+3 \sqrt{3} i)^{555} Passo 1O enunciado pede para calcular \bigl(-3+3\sqrt{3}\,i\bigr)^{555}. Aqui vamos usar representação de números complexos em forma polar e o Teorema de De Moivre, que diz que, se \displaystyle z = r e^{i\theta}, então z^n = r^n e^{i n\theta}\,. Passo 2Calculemos o módulo r = \bigl|{-3 + 3\sqrt{3}\,i}\bigr| = \sqrt{(-3)^2 + \bigl(3\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{9 + 27} = 6\,. Passo 3Agora o argumento \theta = \arg(-3 + 3\sqrt{3}\,i). Como a parte real é negativa e a parte imaginária positiva, estamos no segundo quadrante, e \tan\theta = \frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3} leva a \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\,. Passo 4Portanto -3 + 3\sqrt{3}\,i = 6\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\,. Passo 5Pelo Teorema de De Moivre, \bigl(6\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\bigr)^{555} = 6^{555}\,e^{i\bigl(555\cdot\frac{2\pi}{3}\bigr)}\,. Passo 6Observe que 555\cdot\frac{2\pi}{3} = 370\pi = 185\cdot 2\pi, logo e^{i\,370\pi} = e^{i\,185\cdot 2\pi} = 1. Assim o fator angular some, ficando apenas 6^{555}. Resposta (-3 + 3\sqrt{3}\,i)^{555} = 6^{555}\,. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 4. Calcule: (b) (-3+3 \sqrt{3} i)^{555} Exercício 4. Calcule: (b) (-3+3 \sqrt{3} i)^{555} Exercício 4. Calcule: (b) (-3+3 \sqrt{3} i)^{555} Exercício 4. Calcule: (c) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)^{100}