Exercício 4. Calcule:
(b) (-3+3 \sqrt{3} i)^{555}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \bigl(-3+3\sqrt{3}\,i\bigr)^{555}. Aqui vamos usar representação de números complexos em forma polar e o Teorema de De Moivre, que diz que, se \displaystyle z = r e^{i\theta}, então
z^n = r^n e^{i n\theta}\,.

Passo 2

Calculemos o módulo
r = \bigl|{-3 + 3\sqrt{3}\,i}\bigr| = \sqrt{(-3)^2 + \bigl(3\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{9 + 27} = 6\,.

Passo 3

Agora o argumento \theta = \arg(-3 + 3\sqrt{3}\,i). Como a parte real é negativa e a parte imaginária positiva, estamos no segundo quadrante, e
\tan\theta = \frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3}
leva a
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\,.

Passo 4

Portanto
-3 + 3\sqrt{3}\,i = 6\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\,.

Passo 5

Pelo Teorema de De Moivre,
\bigl(6\,e^{i\frac{2\pi}{3}}\bigr)^{555} = 6^{555}\,e^{i\bigl(555\cdot\frac{2\pi}{3}\bigr)}\,.

Passo 6

Observe que
555\cdot\frac{2\pi}{3} = 370\pi = 185\cdot 2\pi,
logo
e^{i\,370\pi} = e^{i\,185\cdot 2\pi} = 1.
Assim o fator angular some, ficando apenas 6^{555}.

Resposta

(-3 + 3\sqrt{3}\,i)^{555} = 6^{555}\,.

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