Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
F:] 0,+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right. dada por F(x)=\int_{0}^{x} \sqrt[2]{1+2 t} d t

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (0,+\infty)
F(x)=\int_{0}^{x}\sqrt[2]{1+2t}\,dt
e pede para calcular a derivada F'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é t\mapsto\sqrt[2]{1+2t}=(1+2t)^{1/2}.
  • O intervalo de integração tem extremas 0 (fixo) e x (variável).
  • O domínio de F é x\in(0,+\infty), logo ao calcular derivadas consideramos x>0.

Passo 2

Verificação de regularidade do integrando (por que podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo).
Para todo t\in[0,x] com x>0 temos 1+2t\ge 1>0, logo a função
f(t)=(1+2t)^{1/2}
é contínua em [0,x]. Uma função contínua é integrável e a integral com limite superior variável define uma função diferenciável cuja derivada é o valor do integrando no ponto (Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1).
Explicando o teorema com calma: se f é contínua em um intervalo contendo a e x, então a função
G(x)=\int_a^x f(t)\,dt
é diferenciável e
G'(x)=f(x).
Aqui a=0 e f(t)=(1+2t)^{1/2}.

Passo 3

Aplicando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo à nossa F: como f(t)=(1+2t)^{1/2} é contínua em [0,x], segue que
F'(x)=f(x)=(1+2x)^{1/2}.
Esse é o resultado imediato: a derivada de uma integral com limite superior x é simplesmente o integrando avaliado em x.

Passo 4

Vou reforçar com um método alternativo (útil para entender por que dá certo): calcular a primitiva explícita e depois derivar. Isso mostra a mesma resposta por outra via.
Fazer a integral usando substituição. Seja \;u=1+2t\;. Então \;du=2\,dt\;, logo \;dt=\tfrac{1}{2}du\;. Quando t=0 tem u=1; quando t=x tem u=1+2x. Assim
F(x)=\int_{0}^{x}(1+2t)^{1/2}\,dt =\int_{u=1}^{u=1+2x} u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{1}^{1+2x} u^{1/2}\,du.
Calcule a primitiva de u^{1/2}: \int u^{1/2}\,du=\tfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
F(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{1}^{1+2x} =\frac{1}{3}\big((1+2x)^{3/2}-1\big).

Passo 5

Agora derivar a expressão encontrada usando regra da cadeia. Diferenciando
F(x)=\frac{1}{3}(1+2x)^{3/2}-\frac{1}{3},
a constante -\tfrac{1}{3} some e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big((1+2x)^{3/2}\big)=\frac{3}{2}(1+2x)^{1/2}\cdot 2=3(1+2x)^{1/2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{3} obtemos novamente
F'(x)=(1+2x)^{1/2}.
As duas vias (teorema fundamental e cálculo explícito da primitiva) coincidem, confirmando o resultado.

Resposta

\sqrt{1+2x}