Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração tem extremas
(fixo) e (variável). - O domínio de
é , logo ao calcular derivadas consideramos .
Passo 2
Verificação de regularidade do integrando (por que podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo).
Para todo com
temos
, logo a função
Para todo
é contínua em
. Uma função contínua é integrável e a integral com limite superior variável define uma função diferenciável cuja derivada é o valor do integrando no ponto (Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1).
Explicando o teorema com calma: se
é contínua em um intervalo contendo
e
, então a função
é diferenciável e
Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo à nossa
: como
é contínua em
, segue que
Esse é o resultado imediato: a derivada de uma integral com limite superior
é simplesmente o integrando avaliado em
.
Passo 4
Vou reforçar com um método alternativo (útil para entender por que dá certo): calcular a primitiva explícita e depois derivar. Isso mostra a mesma resposta por outra via.
Fazer a integral usando substituição. Seja
. Então
, logo
. Quando
tem
; quando
tem
. Assim
Calcule a primitiva de
:
. Portanto
Passo 5
Agora derivar a expressão encontrada usando regra da cadeia. Diferenciando
a constante
some e, pela regra da cadeia,
Multiplicando por
obtemos novamente
As duas vias (teorema fundamental e cálculo explícito da primitiva) coincidem, confirmando o resultado.