Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=y^{3} e^{x y^{2}} e B é o retângulo 0 \leq x \leq 1,1 \leq y \leq 2.

Passo 1

Nessa questão vamos calcular a integral dupla
\iint_{B}f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=y^{3}e^{x y^{2}} e B é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le2\}. Como B é retângulo, aplicamos o Teorema de Fubini para separar as integrais em x e y.

Passo 2

Primeiro fixamos y e integramos em x:
\int_{0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\,\frac{1}{y^{2}}\bigl[e^{x y^{2}}\bigr]_{0}^{1} = y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo no integral em y, obtemos
\iint_{B}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{1}^{2}y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\,dy = \int_{1}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy \;-\;\int_{1}^{2}y\,dy.

Passo 4

Agora encontramos as antiderivadas:
\int y\,e^{y^{2}}\,dy = \frac{e^{y^{2}}}{2}, \qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Avaliando de y=1 até y=2 e simplificando:
\frac{e^{y^{2}}}{2}\Big|_{1}^{2} \;-\; \frac{y^{2}}{2}\Big|_{1}^{2} = \frac{e^{4}-e}{2} \;-\; \frac{4-1}{2} = \frac{e^{4}-e-3}{2}.

Resposta

\frac{e^{4}-e-3}{2}.

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