Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
\left.f(x, y)=\sqrt{1+y^{3}}\right) e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \sqrt{x} \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=\sqrt{1+y^3}
sobre a região
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x}\le y\le1\}.
O conteúdo envolvido é mudança de ordem de integração e uso de substituição para integrar em uma variável.

Passo 2

Para entender B, note que \sqrt{x}\le y implica x\ge0 e x\le y^2, e como y\le1 e \sqrt{x}\ge0, resulta em
0\le y\le1,\quad 0\le x\le y^2.

Passo 3

Usando estas desigualdades, escrevemos
\iint_{B} \sqrt{1+y^3}\,dx\,dy =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y^2}\sqrt{1+y^3}\,dx\,dy.

Passo 4

Como \sqrt{1+y^3} não depende de x, integramos em x:
\int_{x=0}^{y^2}\sqrt{1+y^3}\,dx =\bigl[x\,\sqrt{1+y^3}\bigr]_{0}^{y^2} =y^2\sqrt{1+y^3}.
Logo a integral vira
\int_{0}^{1}y^2\sqrt{1+y^3}\,dy.

Passo 5

Fazemos a substituição
\displaystyle u=1+y^3, então du=3y^2\,dy e y^2\,dy=\tfrac{du}{3}. Quando y vai de 0 a 1, u vai de 1 a 2. Assim
\int_{0}^{1}y^2\sqrt{1+y^3}\,dy =\int_{u=1}^{2}\sqrt{u}\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{\tfrac12}du =\frac{1}{3}\,\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{2}{9}\bigl(2^{\tfrac32}-1\bigr).

Resposta

\iint_{B} \sqrt{1+y^3}\,dx\,dy =\frac{2}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

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