Exercício 3: Calcule as integrais.
\int \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é usar substituição trigonométrica, já que 1+x^2 lembra a identidade 1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \tan\theta, \quad dx = \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, \quad 1+x^2 = \operatorname{sec}^2\theta.
Então o integrando vira
\frac{dx}{(1+x^2)^2} = \frac{\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{(\operatorname{sec}^2\theta)^2} = \frac{\operatorname{sec}^2\theta}{\operatorname{sec}^4\theta}\,d\theta = \cos^2\theta\,d\theta.

Passo 3

Agora usamos a identidade de redução
\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2},
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\int \cos^2\theta\,d\theta = \int \frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta = \frac12\int d\theta + \frac12\int \cos2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin2\theta}{4} + C.

Passo 4

Falta voltar para x. Temos \theta = \arctan x e
\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2x}{1+x^2}.
Substituindo em \frac{\theta}{2} + \frac{\sin2\theta}{4}
\frac{\arctan x}{2} + \frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \frac{\arctan x}{2} + \frac{x}{2(1+x^2)} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2}\arctan x + C.

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