Exercício 8. Calcule as integrais
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x^{2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de potências, usando a linearidade da integral e a fórmula
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n \neq -1.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x^{2}\Bigr)\,dx = \int_{-2}^{-1} x^{-2}\,dx \;+\; \int_{-2}^{-1} x^{2}\,dx.

Passo 3

Calculamos antiderivadas:
Para \int x^{-2}\,dx, com n=-2,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -x^{-1} = -\frac1x.
Para \int x^{2}\,dx, com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Logo, uma antiderivada comum é
F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x^{2}\Bigr)\,dx = F(-1) - F(-2).

Passo 5

Calculamos F(-1) e F(-2):
F(-1) = -\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^{3}}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3},
F(-2) = -\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^{3}}{3} = \frac{1}{2} - \frac{8}{3} = \frac{3}{6} - \frac{16}{6} = -\frac{13}{6}.

Passo 6

Subtraindo os valores:
F(-1) - F(-2) = \frac{2}{3} - \Bigl(-\frac{13}{6}\Bigr) = \frac{2}{3} + \frac{13}{6} = \frac{4}{6} + \frac{13}{6} = \frac{17}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{6}

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