Exercício 2. Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma razão de polinômios em x.
  • Se eu simplesmente substituir x=1 obtenho 0/0, uma forma indeterminada. Isto indica que preciso manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 2

Entendendo a indeterminação 0/0 e opções de resolução.
Quando ao substituir x=1 aparece 0/0, isso significa que tanto o numerador quanto o denominador têm raiz em x=1. Duas abordagens comuns:
  • Fazer manipulação algébrica (fatoração) para cancelar o fator comum (x-1) — método elementar e rápido.
  • Usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) — exige cálculo de derivadas.
Vou usar fatoração, porque é mais básico e muito usado em prova sem calculadora.

Passo 3

Identidade útil (diferença de potências). Para inteiro n\ge1 vale a fórmula
x^{n}-1=(x-1)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\bigr).
Pequena verificação (multiplicação telescópica):
(x-1)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\bigr) = x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x -\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\bigr)=x^{n}-1.

Passo 4

Aplicando a identidade aos dois polinômios do limite.
Para o numerador com n=4:
x^{4}-1=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
Para o denominador com n=3:
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Como estamos calculando um limite quando x\rightarrow1, podemos considerar x\neq1 nas manipulações e cancelar o fator comum (x-1). Assim a expressão se simplifica para
\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}=\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1}\quad\text{para }x\neq1.

Passo 5

Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição direta.
A nova função é contínua em x=1, então basta substituir x=1:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1} =\frac{1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{2}+1+1} =\frac{1+1+1+1}{1+1+1} =\frac{4}{3}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional): regra de L’Hôpital.
Como foi indeterminação 0/0 e as funções são diferenciáveis perto de 1, a regra diz que
\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x^{4}-1)'}{(x^{3}-1)'} =\lim_{x\rightarrow1}\frac{4x^{3}}{3x^{2}} =\frac{4\cdot1^{3}}{3\cdot1^{2}} =\frac{4}{3},
confirmando o mesmo resultado. Dica para prova: prefira fatorar primeiro; L’Hôpital é uma alternativa rápida quando for permitido.

Resposta

\dfrac{4}{3}