Exercício 2. Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma razão de polinômios em
. - Se eu simplesmente substituir
obtenho , uma forma indeterminada. Isto indica que preciso manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 2
Entendendo a indeterminação
e opções de resolução.
Quando ao substituir
aparece
, isso significa que tanto o numerador quanto o denominador têm raiz em
. Duas abordagens comuns:
- Fazer manipulação algébrica (fatoração) para cancelar o fator comum
— método elementar e rápido. - Usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) — exige cálculo de derivadas.
Vou usar fatoração, porque é mais básico e muito usado em prova sem calculadora.
Passo 3
Identidade útil (diferença de potências). Para inteiro
vale a fórmula
Pequena verificação (multiplicação telescópica):
Passo 4
Aplicando a identidade aos dois polinômios do limite.
Para o numerador com
:
Para o denominador com
:
Como estamos calculando um limite quando
, podemos considerar
nas manipulações e cancelar o fator comum
. Assim a expressão se simplifica para
Passo 5
Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição direta.
A nova função é contínua em
, então basta substituir
:
Passo 6
Verificação alternativa (opcional): regra de L’Hôpital.
Como foi indeterminação
e as funções são diferenciáveis perto de
, a regra diz que
confirmando o mesmo resultado. Dica para prova: prefira fatorar primeiro; L’Hôpital é uma alternativa rápida quando for permitido.