Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Três vetores são sempre coplanares.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a afirmação “Três vetores são sempre coplanares” é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar.
Informações dadas: apenas a própria afirmação isolada — não há restrição explícita sobre o espaço (mas normalmente a questão refere-se ao espaço tridimensional). Vou trabalhar no caso usual \mathbb{R}^3, que é o contexto típico para perguntas sobre coplanaridade de vetores.
Passo 2
Definição e ideia-chave (explicação didática):
Três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são ditos coplanares quando existe um plano (que passa pela origem, se estamos falando de vetores) que contém os três vetores. Em palavras simples: todos os três ficam no mesmo “chão” plano.
Outra forma prática de ver isso: os três vetores são coplanares se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, isto é, se existem escalares \alpha,\beta tais que \mathbf{c}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}. Se isso acontecer, todos os três ficam no plano gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Passo 3
Ferramenta prática que uso na prova (aula rápida): produto misto / produto escalar triplo.
Definição: para \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3, o produto misto é
Como o produto misto é diferente de zero, esses três vetores não são coplanares — eles geram todo o espaço \mathbb{R}^3. Portanto existe pelo menos um conjunto de três vetores que não é coplanar, o que torna falsa a afirmação “três vetores são sempre coplanares”.]
Passo 5
Um exemplo positivo (para contraste): quando três vetores são coplanares.
Considere
Aqui o produto misto é zero, confirmando que esses três vetores são coplanares (estão todos no plano z=0). Isso mostra como testar na prova: ou mostre combinação linear, ou calcule o produto misto/determinante.]
Passo 6
Resumo didático para a prova (o que escrever rapidinho):
Se a questão estiver em \mathbb{R}^3, responda: “Falsa”. Justifique com um contraexemplo simples, por exemplo \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 têm produto misto 1\neq0, então não são coplanares.
Procedimento geral para checar coplanaridade em prova: computar \det da matriz cujas colunas são os vetores; se for zero, são coplanares; se for não nulo, não são.