Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Três vetores são sempre coplanares.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a afirmação “Três vetores são sempre coplanares” é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar.
Informações dadas: apenas a própria afirmação isolada — não há restrição explícita sobre o espaço (mas normalmente a questão refere-se ao espaço tridimensional). Vou trabalhar no caso usual \mathbb{R}^3, que é o contexto típico para perguntas sobre coplanaridade de vetores.

Passo 2

Definição e ideia-chave (explicação didática):
  • Três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são ditos coplanares quando existe um plano (que passa pela origem, se estamos falando de vetores) que contém os três vetores. Em palavras simples: todos os três ficam no mesmo “chão” plano.
  • Outra forma prática de ver isso: os três vetores são coplanares se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, isto é, se existem escalares \alpha,\beta tais que \mathbf{c}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}. Se isso acontecer, todos os três ficam no plano gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 3

Ferramenta prática que uso na prova (aula rápida): produto misto / produto escalar triplo.
  • Definição: para \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3, o produto misto é
[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
  • Propriedade útil: os três vetores são coplanares se, e somente se,
[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = 0.
  • Forma computacional: o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas dos vetores:
[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \det\!\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\[4pt] a_2 & b_2 & c_2\\[4pt] a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}.
Aqui \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3).]

Passo 4

Contraexemplo simples — mostra que a afirmação é falsa:
Considere os vetores padrão
\mathbf{e}_1=(1,0,0),\qquad \mathbf{e}_2=(0,1,0),\qquad \mathbf{e}_3=(0,0,1).
Calculo o produto misto (determinante) com esses vetores:
[\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3] = \det\!\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \neq 0.
Como o produto misto é diferente de zero, esses três vetores não são coplanares — eles geram todo o espaço \mathbb{R}^3. Portanto existe pelo menos um conjunto de três vetores que não é coplanar, o que torna falsa a afirmação “três vetores são sempre coplanares”.]

Passo 5

Um exemplo positivo (para contraste): quando três vetores são coplanares.
Considere
\mathbf{u}=(1,0,0),\qquad \mathbf{v}=(0,1,0),\qquad \mathbf{w}=(1,1,0).
Observe que \mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}, logo \mathbf{w} é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}. Calculando o produto misto:
[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] = \det\!\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0.
Aqui o produto misto é zero, confirmando que esses três vetores são coplanares (estão todos no plano z=0). Isso mostra como testar na prova: ou mostre combinação linear, ou calcule o produto misto/determinante.]

Passo 6

Resumo didático para a prova (o que escrever rapidinho):
  • Se a questão estiver em \mathbb{R}^3, responda: “Falsa”. Justifique com um contraexemplo simples, por exemplo \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 têm produto misto 1\neq0, então não são coplanares.
  • Procedimento geral para checar coplanaridade em prova: computar \det da matriz cujas colunas são os vetores; se for zero, são coplanares; se for não nulo, não são.

Resposta

F