Exercício: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
a) \left\{\begin{array}{c}2 x-y+3 z=0 \\\\ 2 y-z=1 \\\\ 2 z=-6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique e resolva o sistema linear escalonado abaixo:
\begin{cases} 2x - y + 3z = 0\\[4pt] 2y - z = 1\\[4pt] 2z = -6 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) as três equações do sistema acima;}êçõ
\text{(ii) o sistema já está escrito de forma escalonada (a terceira equação envolve só \(z\), a segunda envolve \(y\) e \(z\), a primeira envolve \(x,y,z\)).}ááçãó]

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (passo a passo, devagar e sem pressa).
Um sistema escalonado é aquele em que a última equação geralmente envolve apenas uma variável, a penúltima envolve duas, e assim por diante. Isso permite aplicar a técnica chamada de “substituição regressiva” ou “retro-substituição” (back substitution): primeiro resolvemos a última equação para a variável que aparece sozinha; depois substituímos esse valor nas equações acima para encontrar a variável seguinte; e assim por diante até achar todas as incógnitas. Vou mostrar cada conta explicitamente para você poder copiar no caderno na prova.

Passo 3

Aplicando a retro-substituição: comece pela terceira equação (a que envolve apenas z), depois use o z encontrado na segunda equação para achar y, e por fim use y e z na primeira para achar x. Não tem mistério, só aritmética direta e substituição.

Passo 4

Resolver a terceira equação para z. A terceira equação é
2z = -6.
Para isolar z dividimos ambos os lados por 2:
z = \frac{-6}{2} = -3.
Portanto \;z=-3.

Passo 5

Agora substituímos \;z=-3 na segunda equação para achar y. A segunda equação é
2y - z = 1.
Substituindo z=-3 obtemos
2y - (-3) = 1.
Lembre-se que subtrair -3 é somar 3, então
2y + 3 = 1.
Isolando y subtraímos 3 de ambos os lados:
2y = 1 - 3 = -2.
Agora dividimos por 2:
y = \frac{-2}{2} = -1.
Portanto \;y=-1.

Passo 6

Por fim, substituímos \;y=-1 e \;z=-3 na primeira equação para achar x. A primeira equação é
2x - y + 3z = 0.
Substituindo y=-1 e z=-3 obtemos
2x - (-1) + 3(-3) = 0.
Calcule passo a passo os termos: -(-1)=+1 e 3(-3)=-9. Então
2x + 1 - 9 = 0.
Combine 1-9:
2x - 8 = 0.
Isolando x somamos 8 aos dois lados:
2x = 8.
Dividindo por 2:
x = \frac{8}{2} = 4.
Portanto \;x=4.

Passo 7

Classificação do sistema: como encontramos exatamente um valor para cada variável (x,y,z), o sistema é compatível e possui solução única. O nome técnico é “sistema compatível determinado” (SCD).

Passo 8

Verificação final (útil para a prova — sempre confira): substituir (x,y,z)=(4,-1,-3) nas três equações e confirmar que todas ficam verdadeiras.
Verificação na primeira equação:
2\cdot 4 - (-1) + 3\cdot(-3) = 8 + 1 -9 = 0.
Ótimo.
Verificação na segunda equação:
2\cdot(-1) - (-3) = -2 + 3 = 1.
Ótimo.
Verificação na terceira equação:
2\cdot(-3) = -6.
Ótimo.
Todas conferem, então a solução está correta.

Resposta

Sistema compatível determinado (SCD).\n (x,y,z) = (4,-1,-3)

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