Exercício: Considere uma barra de aço presa por suas duas extremidades. Assuma que a 20^{\circ} \mathrm{C} essa barra está livre de tensões. Calcule a temperatura máxima que esta barra pode ser aquecida sem que uma tensão máxima de 200 MPa seja excedida. Dados: \alpha_{\text {aço }}=12 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \mathrm{E}_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}çç.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura máxima que a barra pode atingir sem que a tensão induzida ultrapasse 200\\ \mathrm{MPa}, sabendo que a barra está presa nas duas extremidades e que a 20^\circ\mathrm{C} estava livre de tensões.
Dados fornecidos:
\alpha = 12\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},
E = 200\\ \mathrm{GPa},
\sigma_{\max} = 200\\ \mathrm{MPa},
temperatura de referência (sem tensões): T_0 = 20^\circ\mathrm{C}.
Objetivo: encontrar T_{\text{max}} tal que a tensão gerada por aquecimento até T_{\text{max}} não exceda \sigma_{\max}.

Passo 2

Entendendo o que acontece fisicamente e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e direta): quando um corpo é aquecido, ele tende a se expandir; o alongamento livre por unidade de comprimento (deformação térmica) é
\varepsilon_{\text{térmica}} = \alpha\,\Delta T,é
onde \Delta T = T - T_0 e \alpha é o coeficiente de dilatação linear. Se a barra estiver livre, essa é a deformação real. Mas aqui as extremidades estão presas, então o alongamento total é nulo ( \varepsilon_{\text{total}} = 0). Isso significa que aparece uma deformação elástica mecânica igual e oposta:
\varepsilon_{\text{mecânica}} = -\,\varepsilon_{\text{térmica}} = -\alpha\,\Delta T.âé
Pela lei de Hooke (regime elástico linear), a tensão associada à deformação elástica é
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{mecânica}} = -E\,\alpha\,\Delta T.â
Tomamos o valor absoluto da tensão (magnitude), pois o sinal só indica compressão:
|\sigma| = E\,\alpha\,\Delta T.
Aqui: \sigma é a tensão (Pa), E é o módulo de Young (Pa), \alpha é o coeficiente de dilatação ( ^\circ\mathrm{C}^{-1}) e \Delta T está em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Isolando \Delta T da relação |\sigma| = E\alpha\Delta T, obtemos
\Delta T = \frac{|\sigma|}{E\,\alpha}.
Como a barra estava livre de tensões a T_0=20^\circ\mathrm{C}, a temperatura máxima permitida é
T_{\text{max}} = T_0 + \Delta T.

Passo 4

Façamos as conversões e substituições numéricas (vou mostrar cada conta para você conseguir repetir na prova sem calculadora, dividindo em passos razoáveis):
\sigma_{\max} = 200\\ \mathrm{MPa} = 200\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa},
E = 200\\ \mathrm{GPa} = 200\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa},
\alpha = 12\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Calcule E\alpha:
E\alpha = \bigl(200\times 10^{9}\bigr)\cdot\bigl(12\times 10^{-6}\bigr) = 200\cdot 12 \times 10^{9-6} = 2400 \times 10^{3} = 2{,}4\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}/^\circ\mathrm{C}.
Agora \Delta T:
\Delta T = \frac{200\times 10^{6}}{2{,}4\times 10^{6}} = \frac{200}{2{,}4} = 83{,}333\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.
(ou seja, \Delta T = 83{,}33^\circ\mathrm{C} arredondando)

Passo 5

Finalmente:
T_{\text{max}} = T_0 + \Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 83{,}333\ldots^\circ\mathrm{C} = 103{,}333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando sensivelmente (os dados têm 2–3 algarismos significativos), podemos reportar T_{\text{max}}\approx 103{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Comentário prático curto (útil na prova): a fórmula usada assume comportamento elástico linear (Hooke) e que a barra não racha nem escoa antes de atingir \sigma_{\max}. Se o material tivesse limite de escoamento menor que 200\\ \mathrm{MPa}, a barra iria plastificar antes de alcançar essa temperatura e o raciocínio seria diferente. Mas, para o enunciado, usamos a tensão admissível dada.

Resposta

T_{\text{max}}=103{,}33^\circ\mathrm{C}

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