Exercício 8. Considere a curva dada pela parametrização
a) Verifique que
é regular;
b) Denote por
o ângulo entre os vetores
e
o ângulo entre
e
e
o ângulo entre
e
. Verifique que quando
tende a
e
vão para
(isto é, os respectivos pares de vetores vão se tornando ortogonais entre si) enquanto que
tende para
;
c) Determine
a função comprimento de arco de
, com
. Determine
, explicitando seu domínio;
d) Seja
. Justifique, sem fazer nenhuma conta, o fato que
e
são paralelos, e que
e
são ortogonais;
e) Seja
o ângulo entre
e
. Verifique se
b) Denote por
c) Determine
d) Seja
e) Seja
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede várias coisas:
- (a) Verificar que
é regular (ou seja, para ); - (b) Denotar por
o ângulo entre e , por o ângulo entre e e por o ângulo entre e ; mostrar que e que ; - (c) Determinar a função comprimento de arco
com e a inversa , explicitando o domínio de ; - (d) Para
, justificar sem cálculos que e são paralelos e que e são ortogonais; - (e) Seja
o ângulo entre e . Verificar a expressão proposta para (ou confirmar/discutir se ela é correta).
As informações relevantes do enunciado são a parametrização de
e o domínio
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos calcular derivadas e simplificar expressões básicas — isso nos ajuda para (a), (b) e (c).
Derivando componente a componente:
Calcule as derivadas das duas últimas componentes usando a regra do produto:
Logo
Agora a segunda derivada:
ou seja
Estas expressões serão usadas a seguir.
Passo 3
(a) Verificação de regularidade.
Definição:
é regular se
para todo
do domínio.
Usando a expressão obtida:
Para
o fator escalar
é positivo. O vetor
nunca é o vetor zero porque a primeira componente é
. Portanto
para todo
. Conclusão:
é regular em
.
Passo 4
(b) Ângulos e limites — preparação de fórmulas.
Recordando: o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é
Vamos calcular produtos internos e normas que aparecem com
.
Primeiro calculemos normas e produtos importantes que simplificam muito:
- Norma de
:
- Norma de
:
calcule os quadrados das últimas duas componentes (faça a expansão com atenção):
Somando a primeira componente ao quadrado
, obtemos
- Produto interno
.
Usandoe como acima:
No parêntese, as partes com
se cancelam:
Logo
- Produto interno
.
Calcule componente a componente:
Use
para as duas últimas componentes; somando-as resulta
. Assim
- Norma de
:
Portanto
Com essas expressões podemos escrever os cossenos dos três ângulos.
Passo 5
(b) Cálculo dos cossenos e limites.
- Ângulo
entre e :
Tomando
,
portanto
.
- Ângulo
entre e :
Para
o numerador é
e o denominador é
, logo
Assim
.
- Ângulo
entre e :
Calcule o produto interno:
As partes com
se cancelam e somam-se os quadrados, resultado:
Como
e
,
Para
, dividindo por
,
Portanto
Passo 6
(c) Comprimento de arco
com
e inversa
.
Por definição do comprimento de arco com ponto inicial
,
Já vimos que
. Logo
Com
está tudo coerente. A função
para
é crescente e contínua, e sua inversa
é dada explicitamente resolvendo
para
:
Domínio de
: como
para
tem imagem
, temos
. (Para o enunciado com
, podemos considerar
e
extensíveis por continuidade em
.)
Passo 7
(d) Justificações sem calcular à força.
- Por regra da cadeia,
implica
Isto mostra que
é um múltiplo escalar de
, logo os dois vetores são paralelos (mesma direção ou direções opostas dependendo do sinal de
). Como
aqui, são mesmo na mesma direção.
- A função
é a reparametrização por comprimento de arco (porque usamos ); portanto para todo . Derivando a identidade obtemos . Assim e são ortogonais. Tudo isso se justifica sem cálculos pesados: reparametrização por arco dá vetor velocidade unitário, e o vetor aceleração é ortogonal ao vetor velocidade unitário.
Passo 8
(e) Cálculo explícito de
, onde
é o ângulo entre
e
. Vamos calcular e comparar com a expressão proposta.
Primeiro, use relações entre derivadas de uma composição e a inversa
. Tomando
para simplificar a notação.
Sabemos que
e
. Para inversa
temos as fórmulas:
Agora calcule
pela regra da cadeia (derivando
):
Substitua
e
:
Calcule o vetor
. Usando as expressões:
Subtraindo,
Logo
Norma de
:
Produto interno
:
Dentro do parêntese:
Portanto
Agora o cosseno do ângulo
é
Finalmente substituímos
. Assim
Uma forma algébrica equivalente, sem radicais combinados, é
Portanto o valor correto de
é
com
, ou explicitamente
.
Agora compare com a expressão proposta no enunciado:
Fazendo um teste numérico rápido (por exemplo
) ou analisando o comportamento assintótico, fica claro que essa expressão NÃO é igual à
que obtivemos. Por exemplo, para
grande a nossa
tende a
(porque
), enquanto a expressão proposta tende a
. Logo a expressão do enunciado é incorreta. Concluímos que a expressão correta é a que obtivemos acima.
Resposta
(a) Sim.
para
.\n
(b) \n
(c) com
.\n
(d) Pelo teorema da cadeia , logo são paralelos; como
é parametrizada por comprimento de arco
, então
, ou seja,
e
são ortogonais.\n
(e) A conta dá com
, ou seja
. A expressão proposta no enunciado não é correta.
(b)
(c)
(d) Pelo teorema da cadeia
(e) A conta dá