Exercício 8. Considere a curva dada pela parametrização
\alpha(t)=\left(\sqrt{2} t^{2}, \operatorname{sen}(t)-t \cos (t), \cos (t)+t \operatorname{sen}(t)\right), t>0 .
a) Verifique que \alpha(t) é regular;
b) Denote por \theta_{1}(t) o ângulo entre os vetores \alpha(t) e \alpha^{\prime}(t), \theta_{2}(t) o ângulo entre \alpha(t) e \alpha^{\prime \prime}(t) e \theta_{3}(t) o ângulo entre \alpha^{\prime}(t) e \alpha^{\prime \prime}(t). Verifique que quando t tende a \infty, \theta_{2}(t) e \theta_{3}(t) vão para \frac{\pi}{2} (isto é, os respectivos pares de vetores vão se tornando ortogonais entre si) enquanto que \theta_{1}(t) tende para \operatorname{arccos} \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right);
c) Determine S(t) a função comprimento de arco de \alpha, com S(0)=0. Determine h=S^{-1}, explicitando seu domínio;
d) Seja \beta(s)=\alpha(h(s)). Justifique, sem fazer nenhuma conta, o fato que \alpha^{\prime}(h(s)) e \beta^{\prime}(s) são paralelos, e que \beta^{\prime}(s) e \beta^{\prime \prime}(s) são ortogonais;
e) Seja \omega(s) o ângulo entre \alpha^{\prime \prime}(h(s)) e \beta^{\prime \prime}(s). Verifique se
\cos (\omega(s))=\frac{\frac{s}{3}+4-2 \sqrt{6}}{3 s \sqrt{9+\frac{2}{3} s}}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\big(\sqrt{2}\,t^{2},\\ \sin t - t\cos t,\\ \cos t + t\sin t\big),\quad t>0,
e pede várias coisas:
  • (a) Verificar que \alpha(t) é regular (ou seja, \alpha'(t)\neq 0 para t>0);
  • (b) Denotar por \theta_{1}(t) o ângulo entre \alpha(t) e \alpha'(t), por \theta_{2}(t) o ângulo entre \alpha(t) e \alpha''(t) e por \theta_{3}(t) o ângulo entre \alpha'(t) e \alpha''(t); mostrar que \lim_{t\to\infty}\theta_{2}(t)=\lim_{t\to\infty}\theta_{3}(t)=\pi/2 e que \lim_{t\to\infty}\theta_{1}(t)=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\big);
  • (c) Determinar a função comprimento de arco S(t) com S(0)=0 e a inversa h=S^{-1}, explicitando o domínio de h;
  • (d) Para \beta(s)=\alpha(h(s)), justificar sem cálculos que \alpha'(h(s)) e \beta'(s) são paralelos e que \beta'(s) e \beta''(s) são ortogonais;
  • (e) Seja \omega(s) o ângulo entre \alpha''(h(s)) e \beta''(s). Verificar a expressão proposta para \cos(\omega(s)) (ou confirmar/discutir se ela é correta).
As informações relevantes do enunciado são a parametrização de \alpha e o domínio t>0. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos calcular derivadas e simplificar expressões básicas — isso nos ajuda para (a), (b) e (c).
Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=\big(2\sqrt{2}\,t,\\ \frac{d}{dt}(\sin t - t\cos t),\\ \frac{d}{dt}(\cos t + t\sin t)\big).
Calcule as derivadas das duas últimas componentes usando a regra do produto:
\frac{d}{dt}(\sin t - t\cos t)=\cos t - (\cos t - t\sin t)=t\sin t,
\frac{d}{dt}(\cos t + t\sin t)=-\sin t + (\sin t + t\cos t)=t\cos t.
Logo
\alpha'(t)=\big(2\sqrt{2}\,t,\\ t\sin t,\\ t\cos t\big)=t\big(2\sqrt{2},\\ \sin t,\\ \cos t\big).
Agora a segunda derivada:
\alpha''(t)=\frac{d}{dt}\big(t(2\sqrt{2},\sin t,\cos t)\big)=(2\sqrt{2},\sin t,\cos t)+t(0,\cos t,-\sin t),
ou seja
\alpha''(t)=\big(2\sqrt{2},\\ \sin t + t\cos t,\\ \cos t - t\sin t\big).
Estas expressões serão usadas a seguir.

Passo 3

(a) Verificação de regularidade.
Definição: \alpha é regular se \alpha'(t)\neq 0 para todo t do domínio.
Usando a expressão obtida:
\alpha'(t)=t\big(2\sqrt{2},\sin t,\cos t\big).
Para t>0 o fator escalar t é positivo. O vetor \big(2\sqrt{2},\sin t,\cos t\big) nunca é o vetor zero porque a primeira componente é 2\sqrt{2}\neq 0. Portanto \alpha'(t)\neq 0 para todo t>0. Conclusão: \alpha é regular em t>0.

Passo 4

(b) Ângulos e limites — preparação de fórmulas.
Recordando: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores u e v é
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}.
Vamos calcular produtos internos e normas que aparecem com \alpha,\alpha',\alpha''.
Primeiro calculemos normas e produtos importantes que simplificam muito:
  1. Norma de \alpha'(t):
\|\alpha'(t)\|=t\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+\sin^{2}t+\cos^{2}t}=t\sqrt{8+1}=3t.
  1. Norma de \alpha''(t):
    calcule os quadrados das últimas duas componentes (faça a expansão com atenção):
(\sin t + t\cos t)^{2}+(\cos t - t\sin t)^{2} = \sin^{2}t+\cos^{2}t + t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t) =1+t^{2}.
Somando a primeira componente ao quadrado (2\sqrt{2})^{2}=8, obtemos
\|\alpha''(t)\|=\sqrt{8+1+t^{2}}=\sqrt{9+t^{2}}.
  1. Produto interno \alpha'(t)\cdot\alpha''(t).
    Usando \alpha'(t)=t(2\sqrt{2},\sin t,\cos t) e \alpha''(t) como acima:
\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)=t\big( (2\sqrt{2})^{2}+ \sin t(\sin t + t\cos t) + \cos t(\cos t - t\sin t)\big).
No parêntese, as partes com t se cancelam:
(2\sqrt{2})^{2}+\sin^{2}t+\cos^{2}t = 8+1=9.
Logo
\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)=9t.
  1. Produto interno \alpha(t)\cdot\alpha''(t).
    Calcule componente a componente:
\alpha(t)\cdot\alpha''(t)=\sqrt{2}t^{2}\cdot 2\sqrt{2}+(\sin t - t\cos t)(\sin t + t\cos t)+(\cos t + t\sin t)(\cos t - t\sin t).
Use (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} para as duas últimas componentes; somando-as resulta 1-t^{2}. Assim
\alpha\cdot\alpha'' = 4t^{2} + (1-t^{2}) = 3t^{2}+1.
  1. Norma de \alpha(t):
\|\alpha(t)\|^{2}= (\sqrt{2}t^{2})^{2} + (\sin t - t\cos t)^{2} + (\cos t + t\sin t)^{2} =2t^{4} + (1+t^{2}).
Portanto
\|\alpha(t)\|=\sqrt{2t^{4}+t^{2}+1}.
Com essas expressões podemos escrever os cossenos dos três ângulos.

Passo 5

(b) Cálculo dos cossenos e limites.
  1. Ângulo \theta_{3}(t) entre \alpha'(t) e \alpha''(t):
\cos\theta_{3}(t)=\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\|\alpha'(t)\|\|\alpha''(t)\|} =\frac{9t}{(3t)\sqrt{9+t^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{9+t^{2}}}.
Tomando t\to\infty,
\lim_{t\to\infty}\cos\theta_{3}(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{3}{\sqrt{9+t^{2}}}=0,
portanto \lim_{t\to\infty}\theta_{3}(t)=\frac{\pi}{2}.
  1. Ângulo \theta_{2}(t) entre \alpha(t) e \alpha''(t):
\cos\theta_{2}(t)=\frac{\alpha(t)\cdot\alpha''(t)}{\|\alpha(t)\|\|\alpha''(t)\|} =\frac{3t^{2}+1}{\sqrt{2t^{4}+t^{2}+1}\,\sqrt{9+t^{2}}}.
Para t\to\infty o numerador é \sim 3t^{2} e o denominador é \sim \sqrt{2}\,t^{2}\cdot t = \sqrt{2}\,t^{3}, logo
\cos\theta_{2}(t)\sim \frac{3t^{2}}{\sqrt{2}\,t^{3}}=\frac{3}{\sqrt{2}\,t}\to 0.
Assim \lim_{t\to\infty}\theta_{2}(t)=\frac{\pi}{2}.
  1. Ângulo \theta_{1}(t) entre \alpha(t) e \alpha'(t):
    Calcule o produto interno \alpha\cdot\alpha':
\alpha(t)\cdot\alpha'(t)=t\big(\sqrt{2}t^{2}\cdot 2\sqrt{2} + (\sin t - t\cos t)\sin t + (\cos t + t\sin t)\cos t\big).
As partes com t se cancelam e somam-se os quadrados, resultado:
\alpha\cdot\alpha' = t(4t^{2}+1)=4t^{3}+t.
Como \|\alpha'(t)\|=3t e \|\alpha(t)\|=\sqrt{2t^{4}+t^{2}+1},
\cos\theta_{1}(t)=\frac{4t^{3}+t}{3t\sqrt{2t^{4}+t^{2}+1}}=\frac{4t^{2}+1}{3\sqrt{2t^{4}+t^{2}+1}}.
Para t\to\infty, dividindo por t^{2},
\lim_{t\to\infty}\cos\theta_{1}(t)=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Portanto
\lim_{t\to\infty}\theta_{1}(t)=\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{2\sqrt{2}}{3}\bigg).

Passo 6

(c) Comprimento de arco S(t) com S(0)=0 e inversa h.
Por definição do comprimento de arco com ponto inicial 0,
S(t)=\int_{0}^{t}\|\alpha'(u)\|\,du.
Já vimos que \|\alpha'(u)\|=3u. Logo
S(t)=\int_{0}^{t}3u\,du=\frac{3}{2}t^{2}.
Com S(0)=0 está tudo coerente. A função S para t\ge 0 é crescente e contínua, e sua inversa h é dada explicitamente resolvendo s=\tfrac{3}{2}t^{2} para t:
t=h(s)=\sqrt{\frac{2s}{3}}.
Domínio de h: como S(t) para t\ge 0 tem imagem [0,\infty), temos h:[0,\infty)\to[0,\infty). (Para o enunciado com t>0, podemos considerar S e h extensíveis por continuidade em 0.)

Passo 7

(d) Justificações sem calcular à força.
  • Por regra da cadeia, \beta(s)=\alpha(h(s)) implica
\beta'(s)=\alpha'(h(s))\,h'(s).
Isto mostra que \beta'(s) é um múltiplo escalar de \alpha'(h(s)), logo os dois vetores são paralelos (mesma direção ou direções opostas dependendo do sinal de h'(s)). Como h'(s)>0 aqui, são mesmo na mesma direção.
  • A função \beta é a reparametrização por comprimento de arco (porque usamos h=S^{-1}); portanto \|\beta'(s)\|=1 para todo s. Derivando a identidade \beta'(s)\cdot\beta'(s)=1 obtemos 2\,\beta'(s)\cdot\beta''(s)=0. Assim \beta'(s) e \beta''(s) são ortogonais. Tudo isso se justifica sem cálculos pesados: reparametrização por arco dá vetor velocidade unitário, e o vetor aceleração é ortogonal ao vetor velocidade unitário.

Passo 8

(e) Cálculo explícito de \cos(\omega(s)), onde \omega(s) é o ângulo entre \alpha''(h(s)) e \beta''(s). Vamos calcular e comparar com a expressão proposta.
Primeiro, use relações entre derivadas de uma composição e a inversa h. Tomando t=h(s) para simplificar a notação.
Sabemos que S'(t)=\|\alpha'(t)\|=3t e S''(t)=3. Para inversa h temos as fórmulas:
h'(s)=\frac{1}{S'(h(s))}=\frac{1}{3t},\qquad h''(s)=-\frac{S''(h(s))}{(S'(h(s)))^{3}}=-\frac{3}{(3t)^{3}}=-\frac{1}{9t^{3}}.
Agora calcule \beta''(s) pela regra da cadeia (derivando \beta'(s)=\alpha'(t)h'(s)):
\beta''(s)=\alpha''(t)\,(h'(s))^{2}+\alpha'(t)\,h''(s).
Substitua h' e h'':
\beta''(s)=\alpha''(t)\frac{1}{9t^{2}}+\alpha'(t)\Big(-\frac{1}{9t^{3}}\Big) =\frac{1}{9t^{3}}\big(t\alpha''(t)-\alpha'(t)\big).
Calcule o vetor v:=t\alpha''(t)-\alpha'(t). Usando as expressões:
t\alpha''(t)=\big(2\sqrt{2}\,t,\\ t\sin t + t^{2}\cos t,\\ t\cos t - t^{2}\sin t\big),
\alpha'(t)=\big(2\sqrt{2}\,t,\\ t\sin t,\\ t\cos t\big).
Subtraindo,
v=t\alpha''(t)-\alpha'(t)=\big(0,\\ t^{2}\cos t,\\\ -t^{2}\sin t\big)=t^{2}\big(0,\cos t,\\\ -\sin t\big).
Logo
\beta''(s)=\frac{1}{9t^{3}}\;t^{2}\big(0,\cos t,\\\ -\sin t\big)=\frac{1}{9t}\big(0,\cos t,\\\ -\sin t\big).
Norma de \beta''(s):
\|\beta''(s)\|=\frac{1}{9t}\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=\frac{1}{9t}.
Produto interno \alpha''(t)\cdot\beta''(s):
\alpha''(t)\cdot\beta''(s)=\frac{1}{9t}\Big( (2\sqrt{2})\cdot 0 + (\sin t + t\cos t)\cos t + (\cos t - t\sin t)(- \sin t)\Big).
Dentro do parêntese:
(\sin t + t\cos t)\cos t + (\cos t - t\sin t)(- \sin t) = \sin t\cos t + t\cos^{2}t - \cos t\sin t + t\sin^{2}t = t(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=t.
Portanto
\alpha''(t)\cdot\beta''(s)=\frac{1}{9t}\cdot t=\frac{1}{9}.
Agora o cosseno do ângulo \omega(s) é
\cos\omega(s)=\frac{\alpha''(t)\cdot\beta''(s)}{\|\alpha''(t)\|\|\beta''(s)\|} =\frac{1/9}{\sqrt{9+t^{2}}\cdot(1/(9t))}=\frac{t}{\sqrt{9+t^{2}}}.
Finalmente substituímos t=h(s)=\sqrt{\tfrac{2s}{3}}. Assim
\cos\omega(s)=\frac{\sqrt{\tfrac{2s}{3}}}{\sqrt{9+\tfrac{2s}{3}}} =\frac{\sqrt{2s}}{\sqrt{27+2s}}.
Uma forma algébrica equivalente, sem radicais combinados, é
\cos\omega(s)=\sqrt{\frac{2s}{27+2s}}.
Portanto o valor correto de \cos(\omega(s)) é \dfrac{t}{\sqrt{9+t^{2}}} com t=\sqrt{\tfrac{2s}{3}}, ou explicitamente \displaystyle \sqrt{\dfrac{2s}{27+2s}}.
Agora compare com a expressão proposta no enunciado:
\frac{\tfrac{s}{3}+4-2\sqrt{6}}{3s\sqrt{9+\tfrac{2}{3}s}}.
Fazendo um teste numérico rápido (por exemplo s=3) ou analisando o comportamento assintótico, fica claro que essa expressão NÃO é igual à \cos\omega(s) que obtivemos. Por exemplo, para s grande a nossa \cos\omega(s) tende a 1 (porque \sqrt{2s}/\sqrt{2s+27}\to 1), enquanto a expressão proposta tende a 0. Logo a expressão do enunciado é incorreta. Concluímos que a expressão correta é a que obtivemos acima.

Resposta

(a) Sim. \alpha'(t)=t(2\sqrt{2},\sin t,\cos t)\neq 0 para t>0.\n
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}\theta_{2}(t)=\frac{\pi}{2},\quad \displaystyle \lim_{t\to\infty}\theta_{3}(t)=\frac{\pi}{2},\quad \displaystyle \lim_{t\to\infty}\theta_{1}(t)=\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{2\sqrt{2}}{3}\bigg).\n
(c) S(t)=\dfrac{3}{2}t^{2},\quad h(s)=\sqrt{\dfrac{2s}{3}}, com h:[0,\infty)\to[0,\infty).\n
(d) Pelo teorema da cadeia \beta'(s)=\alpha'(h(s))h'(s), logo são paralelos; como \beta é parametrizada por comprimento de arco \|\beta'(s)\|=1, então \beta'(s)\cdot\beta''(s)=0, ou seja, \beta'(s) e \beta''(s) são ortogonais.\n
(e) A conta dá \displaystyle \cos\omega(s)=\frac{t}{\sqrt{9+t^{2}}} com t=h(s)=\sqrt{\tfrac{2s}{3}}, ou seja \displaystyle \cos\omega(s)=\sqrt{\dfrac{2s}{27+2s}}. A expressão proposta no enunciado não é correta.

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