Exercício 3. Considere a equação da onda
e utilize a Transformada de Fourier para encontrar a solução geral desta equação. Em seguida, encontre as soluções específicas quando
a.
;
a.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
- Pede-se resolver a equação da onda com velocidade
no eixo real:
- Primeiro: encontrar a solução geral usando a Transformada de Fourier (na variável
). - Depois: obter a solução específica quando
e .
Informações relevantes que vamos usar (derivadas do enunciado):
- PDE homogênea e dados iniciais no tempo
. - Domínio em
é (logo a transformada de Fourier é apropriada). - No item (a) os dados são
e .]
Passo 2
Definição da Transformada de Fourier e propriedades fundamentais que vou usar (aula rápida e prática).
- Definição da transformada de
(convenção que usarei):
- Fórmula de inversão:
- Propriedades úteis:
- Linearidade:
. - Derivada espacial:
e . - Transformada do produto no
-espaço vira convolução no -espaço; análogas relações para inversas.
- Linearidade:
- Observação prática: a transformada troca derivadas em
por multiplicação por potências de , o que transforma a PDE em uma ODE em para cada . Isto é a chave para resolver pelo método da Fourier.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Fourier em
à equação da onda — obtenção da ODE no espaço de frequências.
- Denoto
- Transformando
em : a transformada age apenas no , então . - Transformando
: . - Portanto a PDE transforma-se para cada
em:
- As condições iniciais transformadas:
Passo 4
Resolver a ODE em
para cada
(é uma osciladora harmônica simples).
- A equação
tem solução geral
onde
são funções de
determinadas pelas condições iniciais.
- Aplicando
:
- Derivando e aplicando
:
logo em
:
-
Para
usa-se o limite, observando que , o que garante que a expressão final em é contínua; não há problema prático porque a transformada inversa tratará esse caso por continuidade. -
Portanto a solução em
-espaço é
Passo 5
Inverter a transformada para obter
(passo de volta ao espaço físico). Usar linearidade e identidades trigonométricas.
- Inversão direta:
- Vou tratar os dois termos separadamente.
- Primeiro termo (relacionado a
):
Usar que
. Assim, pela fórmula de inversão:
Explicação curta: aplicar a inversão em cada exponencial produz
.
- Segundo termo (relacionado a
):
Reescrevendo
é possível manipular, mas a forma mais direta usa o teorema da convolução: o inverso da multiplicação
é a convolução
, onde
Uma identidade clássica (que pode ser verificada por integração por partes ou por transformada de Fourier da função indicadora) é
onde
é a função indicadora do intervalo
. Ou seja,
.
- Portanto o segundo termo fica
Explicação do último passo: a convolução com
é exatamente a média acumulada de
sobre o intervalo
.
Passo 6
Juntando os dois termos obtemos a solução geral (fórmula de d’Alembert, obtida via Transformada de Fourier).
- Assim
- Comentário didático: essa fórmula é muito prática para a prova. Ela diz, em palavras: a solução é a média das duas ondas iniciais deslocadas (termo com
) mais uma contribuição acumulada da velocidade inicial ao longo do intervalo de influência .
Passo 7
Observação sobre a regularidade em
e validade da fórmula.
- Note que no processo apareceu
. Isso não gera problema porque no integrando final a combinação é regular em (limite ). Assim a transformada inversa é bem definida para funções razoáveis (por exemplo ou com decaimento suficiente). Em termos práticos para a prova, memorize e use a fórmula de d’Alembert acima; ela já é a solução clássica e não exige lidar com singularidades.
Passo 8
Aplicar a solução geral ao caso específico
.
- Com
a fórmula simplifica (termo integral desaparece):
- Substituindo
:
- Comentário prático: esta forma mostra claramente que a solução é a soma de duas ondas obtidas por deslocar para a esquerda e para a direita o perfil inicial
, cada uma com metade da amplitude inicial. É intuitivo: o pulso inicial se divide em duas ondas que se afastam uma da outra com velocidade 1.
Passo 9
Opcional — verificar rapidamente a transformada de
(curiosidade útil em provas).
- Cálculo rápido (útil se pedirem pelo método da transformada explícita):
- Se inserirmos isso na fórmula em
-espaço e invertermos, recuperamos a mesma expressão .