Exercício 1: A coordenada de posição de uma partícula qu está confinada a mover-se ao longo de uma linha reta é dada por
, onde
é medida em metros de uma origem conveniente e t está em segundos. Determine:
a) O tempo requerido para a partícula alcançar
, de sua condição inicial emt
b) A aceleração da partícula quando
.
c) O deslocamento da partícula durante o intervalo de 1 s a 4 s .
a) O tempo requerido para a partícula alcançar
b) A aceleração da partícula quando
c) O deslocamento da partícula durante o intervalo de 1 s a 4 s .
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. A partícula parte da condição em
.
As perguntas são:
(a) Determinar o tempo necessário para a partícula alcançar (velocidade) a partir de
.
(b) Determinar a aceleração da partícula quando a velocidade é .
(c) Calcular o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de a
.
(a) Determinar o tempo necessário para a partícula alcançar
(b) Determinar a aceleração da partícula quando a velocidade é
(c) Calcular o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de
Passo 2
Primeiro passo técnico: obter expressão para a velocidade e para a aceleração a partir de
.
Explicação da ideia (regra usada): a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A regra de potência diz que a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Derivando
obtemos a velocidade
Derivando a velocidade para obter a aceleração (derivada de
é
, derivada de constante é zero):
Comentário rápido: portanto temos fórmulas simples para usar mais adiante:
Passo 3
Resolvendo (a): queremos o tempo
tal que
.
Colocando na equação da velocidade:
Resolver passo a passo:
Como o tempo físico aqui é não-negativo (começamos em
), descartamos
e tomamos
Breve observação: a solução negativa existe algebraicamente, mas para medir tempo a partir de
só faz sentido a solução positiva.
Passo 4
Resolvendo (b): queremos a aceleração quando
.
Primeiro achar os instantes
que satisfazem
:
Resolver:
Tomamos
(o instante positivo). Agora a aceleração é
Observação: o instante
daria
, mas novamente para o problema físico que começa em
usamos
.
Passo 5
Resolvendo (c): deslocamento entre
e
.
Definição e método: deslocamento é a diferença de posições,
. (Alternativamente poderia-se integrar
de
a
; dá a mesma coisa porque
.)
Calcular
:
Calcular
:
Portanto o deslocamento é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)