Exercício 1: A coordenada de posição de uma partícula qu está confinada a mover-se ao longo de uma linha reta é dada por s=2 t^{3}-24 t+6, onde s é medida em metros de uma origem conveniente e t está em segundos. Determine:
a) O tempo requerido para a partícula alcançar 72 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, de sua condição inicial emt =0 \mathrm{~s}
b) A aceleração da partícula quando \mathrm{v}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
c) O deslocamento da partícula durante o intervalo de 1 s a 4 s .

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
s(t)=2t^{3}-24t+6,
onde s está em metros e t em segundos. A partícula parte da condição em t=0\\ \mathrm{s}.
As perguntas são:
(a) Determinar o tempo necessário para a partícula alcançar 72\\ \mathrm{m/s} (velocidade) a partir de t=0.
(b) Determinar a aceleração da partícula quando a velocidade é 30\\ \mathrm{m/s}.
(c) Calcular o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 1\\ \mathrm{s} a 4\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: obter expressão para a velocidade e para a aceleração a partir de s(t).
Explicação da ideia (regra usada): a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A regra de potência diz que a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Aplicando termo a termo:
Derivando s(t)=2t^{3}-24t+6 obtemos a velocidade
v(t)=\frac{ds}{dt}=6t^{2}-24.
Derivando a velocidade para obter a aceleração (derivada de 6t^{2} é 12t, derivada de constante é zero):
a(t)=\frac{dv}{dt}=12t.
Comentário rápido: portanto temos fórmulas simples para usar mais adiante:
v(t)=6t^{2}-24,\qquad a(t)=12t.

Passo 3

Resolvendo (a): queremos o tempo t tal que v(t)=72\\ \mathrm{m/s}.
Colocando na equação da velocidade:
6t^{2}-24=72.
Resolver passo a passo:
6t^{2}=72+24=96,
t^{2}=\frac{96}{6}=16,
t=\pm 4.
Como o tempo físico aqui é não-negativo (começamos em t=0), descartamos t=-4 e tomamos
t=4\\ \mathrm{s}.
Breve observação: a solução negativa existe algebraicamente, mas para medir tempo a partir de t=0 só faz sentido a solução positiva.

Passo 4

Resolvendo (b): queremos a aceleração quando v=30\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro achar os instantes t que satisfazem v(t)=30:
6t^{2}-24=30.
Resolver:
6t^{2}=30+24=54,
t^{2}=\frac{54}{6}=9,
t=\pm 3.
Tomamos t=3\\ \mathrm{s} (o instante positivo). Agora a aceleração é
a(t)=12t \quad\Rightarrow\quad a(3)=12\cdot 3=36\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: o instante t=-3 daria a=-36\\ \mathrm{m/s^{2}}, mas novamente para o problema físico que começa em t=0 usamos t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Resolvendo (c): deslocamento entre t=1\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s}.
Definição e método: deslocamento é a diferença de posições, \Delta s = s(4)-s(1). (Alternativamente poderia-se integrar v(t) de 1 a 4; dá a mesma coisa porque v=\dot s.)
Calcular s(4):
s(4)=2\cdot 4^{3}-24\cdot 4+6=2\cdot 64-96+6=128-96+6=38\\ \mathrm{m}.
Calcular s(1):
s(1)=2\cdot 1^{3}-24\cdot 1+6=2-24+6=-16\\ \mathrm{m}.
Portanto o deslocamento é
\Delta s = s(4)-s(1)=38-(-16)=54\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) t=4\\ \mathrm{s}
(b) a=36\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) \Delta s=54\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados