Quando dois vetores
e
säo desenhados a partir de um se mesmo ponto, o ângulo entre eles é
.
a) Usando técnicas vetoia riais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
a) Usando técnicas vetoia riais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores desenhados a partir do mesmo ponto:
e
. O ângulo entre eles é
.
O que se pede: mostrar que o módulo da soma desses vetores satisfaz a fórmula
O que se pede: mostrar que o módulo da soma desses vetores satisfaz a fórmula
Passo 2
Vamos lembrar um conceito-chave que usaremos: o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores e sua relação com ângulo entre eles.
Definição geométrica do produto escalar:
onde
é o ângulo entre
e
.
Explicando cada símbolo:
Explicando cada símbolo:
-
e são vetores quaisquer. -
e são os módulos (comprimentos) desses vetores. -
é o ângulo entre eles.
Geométricamente,mede quanto projeta em (ou vice-versa) multiplicado pelo comprimento de .
Propriedades úteis do produto escalar que vamos usar (sem demonstrar aqui, mas fáceis de aceitar):
- É distributivo:
. - É comutativo:
. -
(produto escalar de um vetor por si mesmo é o quadrado do seu módulo).
Passo 3
Para achar o módulo de
é prático primeiro computar o quadrado do módulo:
Agora expandimos usando a distributividade do produto escalar:
Como o produto escalar é comutativo (
), isso vira
Passo 4
Substituímos as identificações
e
, e usamos a definição geométrica do produto escalar para
:
onde
é o ângulo entre
e
(dado no enunciado). Portanto
Passo 5
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando que o módulo é não-negativo, então escolhemos a raiz positiva), obtemos a fórmula desejada:
Passo 6
Para fixar a ideia, alguns comentários intuitivos e um exemplo numérico rápido:
- Se
(vetores paralelos no mesmo sentido), e a fórmula dá , que faz sentido. - Se
(vetores antiparalelos), e a fórmula dá , ou seja, subtração de comprimentos. - Exemplo numérico: tome
, , (logo ). Então
Isso mostra como aplicar a fórmula passo a passo.