Quando dois vetores vec{A} e vec{B} säo desenhados a partir de um se mesmo ponto, o ângulo entre eles é \varphi.
a) Usando técnicas vetoia riais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores desenhados a partir do mesmo ponto: \vec{A} e \vec{B}. O ângulo entre eles é \varphi.
O que se pede: mostrar que o módulo da soma desses vetores satisfaz a fórmula
|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{|\vec{A}|^{2}+|\vec{B}|^{2}+2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\varphi}.

Passo 2

Vamos lembrar um conceito-chave que usaremos: o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores e sua relação com ângulo entre eles.
Definição geométrica do produto escalar:
\vec{X}\cdot\vec{Y}=|\vec{X}|\,|\vec{Y}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{X} e \vec{Y}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{X} e \vec{Y} são vetores quaisquer.
  • |\vec{X}| e |\vec{Y}| são os módulos (comprimentos) desses vetores.
  • \theta é o ângulo entre eles.
    Geométricamente, \vec{X}\cdot\vec{Y} mede quanto \vec{X} projeta em \vec{Y} (ou vice-versa) multiplicado pelo comprimento de \vec{Y}.
Propriedades úteis do produto escalar que vamos usar (sem demonstrar aqui, mas fáceis de aceitar):
  • É distributivo: (\vec{U}+\vec{V})\cdot\vec{W}=\vec{U}\cdot\vec{W}+\vec{V}\cdot\vec{W}.
  • É comutativo: \vec{U}\cdot\vec{V}=\vec{V}\cdot\vec{U}.
  • \vec{X}\cdot\vec{X}=|\vec{X}|^{2} (produto escalar de um vetor por si mesmo é o quadrado do seu módulo).

Passo 3

Para achar o módulo de \vec{A}+\vec{B} é prático primeiro computar o quadrado do módulo:
|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=(\vec{A}+\vec{B})\cdot(\vec{A}+\vec{B}).
Agora expandimos usando a distributividade do produto escalar:
(\vec{A}+\vec{B})\cdot(\vec{A}+\vec{B}) =\vec{A}\cdot\vec{A}+ \vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{A}+\vec{B}\cdot\vec{B}.
Como o produto escalar é comutativo ( \vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}), isso vira
|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=\vec{A}\cdot\vec{A}+2\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{B}.

Passo 4

Substituímos as identificações \vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|^{2} e \vec{B}\cdot\vec{B}=|\vec{B}|^{2}, e usamos a definição geométrica do produto escalar para \vec{A}\cdot\vec{B}:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} (dado no enunciado). Portanto
|\vec{A}+\vec{B}|^{2}=|\vec{A}|^{2}+2|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\varphi+|\vec{B}|^{2}.

Passo 5

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando que o módulo é não-negativo, então escolhemos a raiz positiva), obtemos a fórmula desejada:
|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{|\vec{A}|^{2}+|\vec{B}|^{2}+2|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\varphi}.

Passo 6

Para fixar a ideia, alguns comentários intuitivos e um exemplo numérico rápido:
  • Se \varphi=0 (vetores paralelos no mesmo sentido), \cos\varphi=1 e a fórmula dá |\vec{A}+\vec{B}|=|\vec{A}|+|\vec{B}|, que faz sentido.
  • Se \varphi=\pi (vetores antiparalelos), \cos\varphi=-1 e a fórmula dá |\vec{A}+\vec{B}|=||\vec{A}|-|\vec{B}||, ou seja, subtração de comprimentos.
  • Exemplo numérico: tome |\vec{A}|=3, |\vec{B}|=4, \varphi=60^\circ (logo \cos\varphi=\tfrac{1}{2}). Então
|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+2\cdot3\cdot4\cdot\tfrac{1}{2}}=\sqrt{9+16+12}=\sqrt{37}\approx6{,}082.
Isso mostra como aplicar a fórmula passo a passo.

Resposta

|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{|\vec{A}|^{2}+|\vec{B}|^{2}+2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\varphi}

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