Exercício R.1.3.7. Um copo de refrigerante pode ser considerado como um cilindro de 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. As paredes do copo são de um plástico muito fino e com resistência térmica desprezível. Dentro do copo são colocados 2 cubos de gelo com 3 cm de lado, de modo que o mesmo fica cheio até a borda com a mistura gelo-refrigerante que permanece a 0^{\circ} \mathrm{C} até a fusão completa do gelo. O copo está depositado sobre uma superfície bem isolada, de modo que devem ser consideradas apenas as transferências de calor pelas áreas laterais e superior. Considerando que o ar ambiente está a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película de 25 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, e que a densidade e o calor latente de fusão do gelo são 935 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} e 80,6 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg}, respectivamente, calcular :
a) O fluxo de calor transferido entre o ambiente e a mistura gelo-refrigerante; (3)
a) O tempo necessário para a fusão completa do gelo. (2)
r=4,5 c m=0,045 m L=20 c m=0,2 m
T_{a r}=35^{\circ} \mathrm{C} \quad h=35 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}
temp. da mistura gelo/água \rightarrow T_{p}=0^{\circ} \mathrm{C}
\rho_{g}=935 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} \Delta H_{f}=80,6 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg}
lado do cubo de gelo \rightarrow d=3 \mathrm{~cm}=0,03 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o fluxo de calor transferido entre o ambiente e a mistura gelo–refrigerante (durante a fusão, a mistura permanece a 0^\circ\mathrm{C});
  • (b) o tempo necessário para a fusão completa do gelo.
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado (pego do texto da questão) são:
  • Copo modelado como um cilindro com diâmetro 7\\ \mathrm{cm} e altura 20\\ \mathrm{cm}.
  • A mistura gelo–refrigerante permanece a T_p=0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente T_{\text{ar}}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película convectiva h=25\\ \mathrm{Kcal}\,/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • São colocados dois cubos de gelo, cada cubo com lado d=3\\ \mathrm{cm}.
  • Densidade do gelo \rho_g=935\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Calor latente de fusão do gelo \Delta H_f=80{,}6\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{kg}.
  • As paredes do copo têm resistência térmica desprezível; a base está bem isolada (logo despreza-se transferência por baixo). Devem ser consideradas apenas as transferências pelas áreas laterais e superior (boca aberta).

Passo 2

Conversão e geometria do copo (colocar tudo em unidades consistentes: metros).
  • Diâmetro do copo D=7\\ \mathrm{cm}=0{,}07\\ \mathrm{m}. Portanto o raio
r=\frac{D}{2}=0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • Altura do copo
L=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Áreas necessárias:
  • Área lateral do cilindro (superfície curva): A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • Área da boca (superfície superior, círculo): A_{\text{top}}=\pi r^2.
    Calcule-as numericamente:
A_{\text{lat}} = 2\pi (0{,}035)(0{,}20).
A_{\text{top}} = \pi (0{,}035)^2.

Passo 3

Cálculo numérico das áreas (mostrar as contas passo a passo).
Calcule A_{\text{lat}}:
A_{\text{lat}} = 2\pi \cdot 0{,}035 \cdot 0{,}20 = 2\pi \cdot 0{,}007 \approx 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 0{,}007 \approx 0{,}043982\\ \mathrm{m}^2.
Calcule A_{\text{top}}:
A_{\text{top}} = \pi \cdot (0{,}035)^2 = \pi \cdot 0{,}001225 \approx 3{,}1416 \cdot 0{,}001225 \approx 0{,}003847\\ \mathrm{m}^2.
Área total exposta ao convívio com o ar (lateral + topo):
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + A_{\text{top}} \approx 0{,}043982 + 0{,}003847 \approx 0{,}047829\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Fórmula e interpretação física do fluxo de calor convectivo.
Para convecção externa com filme térmico uniforme, a taxa de transferência de calor é dada por
\dot{Q} = h\,A_{\text{tot}}\,(T_{\text{ar}} - T_p),
onde:
  • \dot{Q} é o fluxo de calor (taxa de transferência) em \mathrm{Kcal}/\mathrm{h},
  • h é o coeficiente de película em \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}),
  • A_{\text{tot}} é a área disponível para a transferência em \mathrm{m}^2,
  • T_{\text{ar}} e T_p são as temperaturas do ar e da mistura em ^\circ\mathrm{C}.
No nosso caso T_{\text{ar}}=25^\circ\mathrm{C} e T_p=0^\circ\mathrm{C}, então \Delta T=25^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo do fluxo de calor numérico.
Usando os valores:
\dot{Q} = 25\\ \frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}} \cdot 0{,}047829\\ \mathrm{m}^2 \cdot 25\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule passo a passo:
25 \cdot 0{,}047829 \approx 1{,}1957,
1{,}1957 \cdot 25 \approx 29{,}8925\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}.
Arredondando de forma razoável:
\dot{Q} \approx 29{,}89\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}.

Passo 6

Cálculo da massa total de gelo e da energia necessária para fusão.
Volume de um cubo de gelo (lado d=3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}):
V_{\text{cubo}} = d^3 = (0{,}03)^3 = 0{,}000027\\ \mathrm{m}^3 = 2{,}7\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Dois cubos têm volume total
V_{\text{gelo}} = 2\cdot V_{\text{cubo}} = 2\cdot 2{,}7\times10^{-5} = 5{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Massa do gelo:
m = \rho_g \, V_{\text{gelo}} = 935\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 5{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3
m \approx 935 \cdot 5{,}4\times10^{-5} = 0{,}05049\\ \mathrm{kg}.
Energia necessária para fundir esse gelo (usar \Delta H_f em \mathrm{Kcal}/\mathrm{kg}):
Q_{\text{fus}} = m\,\Delta H_f = 0{,}05049\\ \mathrm{kg}\cdot 80{,}6\\ \frac{\mathrm{Kcal}}{\mathrm{kg}}
Q_{\text{fus}} \approx 4{,}068\\ \mathrm{Kcal}.

Passo 7

Tempo necessário para fusão completa (usar \dot{Q} constante).
Assumindo que todo o calor recebido vai para a fusão (mistura mantém-se a 0^\circ\mathrm{C} e não há perdas pela base isolada), o tempo requerido é
t = \frac{Q_{\text{fus}}}{\dot{Q}}.
Substituindo os valores:
t = \frac{4{,}068\\ \mathrm{Kcal}}{29{,}8925\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}} \approx 0{,}1361\\ \mathrm{h}.
Converter para minutos:
0{,}1361\\ \mathrm{h}\times 60\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{h}} \approx 8{,}17\\ \mathrm{min}.
Ou em segundos:
8{,}17\\ \mathrm{min}\times 60 \approx 490\\ \mathrm{s}.

Resposta

\dot{Q}\approx 29{,}89\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}
t\approx 0{,}136\\ \mathrm{h}\approx 8{,}17\\ \mathrm{min}

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