Exercício 3. Defina o problema homogêneo associado a um problema de valor de contorno linear não homogêneo. Explique sua relação com a existência e unicidade da solução.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o problema homogêneo associado a um problema de valor de contorno linear não homogêneo.
- Explicar a relação entre esse problema homogêneo e a existência e unicidade da solução do problema não homogêneo.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são típicas do contexto):
- Temos um operador linear
que age em funções (por exemplo ). - A equação diferencial não homogênea é
em algum intervalo, com condições de contorno lineares
onde cada
é uma forma linear que envolve valores de
e das suas derivadas nos limites (por exemplo
, etc.).
- O problema é linear (linearidade tanto do
quanto das condições de contorno).
Passo 2
Definição do problema homogêneo associado (forma precisa).
- O problema homogêneo associado é obtido zerando os termos não homogêneos, tanto na equação quanto nas condições de contorno. Ou seja, é
com as condições de contorno homogêneas
- Em palavras: tomar a mesma equação diferencial linear, mas com o termo forçante
substituído por e as mesmas condições de contorno com os lados direitos iguais a .
Passo 3
Por que isso importa — ideia da diferença de soluções (princípio da superposição).
- Se
e são duas soluções do problema não homogêneo
então a diferença
satisfaz
e
- Portanto
é solução do problema homogêneo associado. Conclusão imediata: qualquer diferença entre duas soluções do problema não homogêneo é uma solução do problema homogêneo.
Passo 4
Consequência direta para unicidade.
- Se o problema homogêneo associado só possui a solução trivial
(ou seja, o único que satisfaz é ), então não podem existir duas soluções distintas do problema não homogêneo (porque a diferença seria uma solução não nula do homogêneo). Logo, a solução do problema não homogêneo, se existir, é única. - Inversamente, se o problema homogêneo tiver alguma solução não trivial
que satisfaça as condições homogêneas, então sempre que existir uma solução particular do problema não homogêneo, a família
(onde
é uma base do espaço de soluções do homogêneo) também são soluções do problema não homogêneo — ou seja, a solução não é única (há infinitas, geralmente uma família afim de dimensão
).
Passo 5
Estrutura geral da solução (como usar na prova).
- Primeiro passo prático: encontre uma solução particular
de (não precisa satisfazer as condições de contorno). - A solução geral da equação diferencial é
onde
é a solução geral da equação homogênea
. O espaço das soluções homogêneas tem dimensão igual à ordem
da equação (se os coeficientes são apropriados), e pode ser escrito por uma combinação linear
.
- Depois, impõe-se as condições de contorno
. Isso gera um sistema linear para os constantes . O comportamento desse sistema (determinante não nulo, determinante nulo mas consistente, inconsistente) decide unicidade/existência: - Determinante não nulo → solução única (existe e é única).
- Determinante nulo e sistema consistente → existência, mas não unicidade (família de soluções).
- Determinante nulo e sistema inconsistente → nenhuma solução.
Passo 6
Existência: quando o homogêneo é não trivial aparece a necessidade de condições de compatibilidade (intuição e exemplo).
- Intuição: se o espaço das soluções homogêneas que satisfazem as condições homogêneas não for trivial, os graus de liberdade extras exigem que o forçamento
satisfaça certas condições para que o sistema para as constantes seja consistente. - Em muitos casos (operadores diferenciais com condições autoadjuntas) essas condições de compatibilidade aparecem como ortogonalidade do forçamento em relação às soluções do problema adjunto. Para operadores auto-adjuntos com condições de contorno homogêneas, a condição costuma ser
para cada
solução do problema homogêneo adjunto (que, no caso auto-adjunto, coincide com o homogêneo original).
- Exemplo concreto e simples (muito útil na prova): considere
A solução homogênea é
. As condições homogêneas
anulam
componente (dá
), mas deixam
livre porque
. Então
não trivial existe. Multiplicando a equação não homogênea por
e integrando por partes (ou usando auto-adjuntidade), obtém-se a condição necessária
Se essa condição não for satisfeita, não existe solução; se for satisfeita, existe (na verdade existe uma família de soluções porque se pode somar
). Isso ilustra como aparece a compatibilidade.
Passo 7
Resumo prático — o que fazer numa prova (passos que você pode aplicar rápido).
- Escreva o problema homogêneo associado: substituir
por e por . - Resolva o homogêneo e verifique se as condições homogêneas forçam só a solução trivial.
- Se sim → qualquer solução do não homogêneo (se existir) será única; geralmente um método constrói diretamente essa solução (p. ex. método dos coeficientes indeterminados, var. dos parâmetros, Green’s function).
- Se não → o homogêneo tem soluções não triviais e:
- verifique condições de compatibilidade (p. ex. ortogonalidade num caso auto-adjunto) para saber se existe alguma solução do não homogêneo;
- se existir, espere infinitas soluções (adicionar combinação linear das soluções homogêneas que satisfaçam as condições de contorno).
- Use o fato básico: diferença de duas soluções do não homogêneo resolve o homogêneo — esse é o teste de unicidade simples e elegante.
Resposta
O problema homogêneo associado é o problema obtido substituindo por zero o termo forçante e os termos não homogêneos das condições de contorno, isto é,
A relação com existência e unicidade é: se o problema homogêneo só tem a solução trivial então, quando existir, a solução do problema não homogêneo é única; se o homogêneo tem soluções não triviais então, para o problema não homogêneo ou não existem soluções (caso não sejam satisfeitas certas condições de compatibilidade) ou existem infinitas soluções (uma família obtida somando à solução particular combinações das soluções do homogêneo).