Exercício 3. Defina o problema homogêneo associado a um problema de valor de contorno linear não homogêneo. Explique sua relação com a existência e unicidade da solução.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o problema homogêneo associado a um problema de valor de contorno linear não homogêneo.
  • Explicar a relação entre esse problema homogêneo e a existência e unicidade da solução do problema não homogêneo.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são típicas do contexto):
  • Temos um operador linear L que age em funções y(x) (por exemplo L[y]=a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y).
  • A equação diferencial não homogênea é
L[y]=f(x)
em algum intervalo, com condições de contorno lineares
B_i[y]=g_i,\qquad i=1,\dots,m,
onde cada B_i é uma forma linear que envolve valores de y e das suas derivadas nos limites (por exemplo B_1[y]=\alpha_1 y(a)+\beta_1 y'(a), etc.).
  • O problema é linear (linearidade tanto do L quanto das condições de contorno).

Passo 2

Definição do problema homogêneo associado (forma precisa).
  • O problema homogêneo associado é obtido zerando os termos não homogêneos, tanto na equação quanto nas condições de contorno. Ou seja, é
L[y]=0
com as condições de contorno homogêneas
B_i[y]=0,\qquad i=1,\dots,m.
  • Em palavras: tomar a mesma equação diferencial linear, mas com o termo forçante f(x) substituído por 0 e as mesmas condições de contorno com os lados direitos iguais a 0.

Passo 3

Por que isso importa — ideia da diferença de soluções (princípio da superposição).
  • Se y^{(1)} e y^{(2)} são duas soluções do problema não homogêneo
L[y]=f,\qquad B_i[y]=g_i,
então a diferença z=y^{(1)}-y^{(2)} satisfaz
L[z]=L[y^{(1)}]-L[y^{(2)}]=f-f=0
e
B_i[z]=B_i[y^{(1)}]-B_i[y^{(2)}]=g_i-g_i=0.
  • Portanto z é solução do problema homogêneo associado. Conclusão imediata: qualquer diferença entre duas soluções do problema não homogêneo é uma solução do problema homogêneo.

Passo 4

Consequência direta para unicidade.
  • Se o problema homogêneo associado só possui a solução trivial y\equiv0 (ou seja, o único z que satisfaz L[z]=0,\;B_i[z]=0 é z\equiv0), então não podem existir duas soluções distintas do problema não homogêneo (porque a diferença seria uma solução não nula do homogêneo). Logo, a solução do problema não homogêneo, se existir, é única.
  • Inversamente, se o problema homogêneo tiver alguma solução não trivial z\not\equiv0 que satisfaça as condições homogêneas, então sempre que existir uma solução particular y_p do problema não homogêneo, a família
y = y_p + C_1 z_1 + \cdots + C_k z_k
(onde z_1,\dots,z_k é uma base do espaço de soluções do homogêneo) também são soluções do problema não homogêneo — ou seja, a solução não é única (há infinitas, geralmente uma família afim de dimensão k).

Passo 5

Estrutura geral da solução (como usar na prova).
  • Primeiro passo prático: encontre uma solução particular y_p de L[y]=f (não precisa satisfazer as condições de contorno).
  • A solução geral da equação diferencial é
y = y_p + y_h,
onde y_h é a solução geral da equação homogênea L[y_h]=0. O espaço das soluções homogêneas tem dimensão igual à ordem n da equação (se os coeficientes são apropriados), e pode ser escrito por uma combinação linear y_h = C_1 z_1 + \cdots + C_n z_n.
  • Depois, impõe-se as condições de contorno B_i[y]=g_i. Isso gera um sistema linear para os constantes C_j. O comportamento desse sistema (determinante não nulo, determinante nulo mas consistente, inconsistente) decide unicidade/existência:
    • Determinante não nulo → solução única (existe e é única).
    • Determinante nulo e sistema consistente → existência, mas não unicidade (família de soluções).
    • Determinante nulo e sistema inconsistente → nenhuma solução.

Passo 6

Existência: quando o homogêneo é não trivial aparece a necessidade de condições de compatibilidade (intuição e exemplo).
  • Intuição: se o espaço das soluções homogêneas que satisfazem as condições homogêneas não for trivial, os graus de liberdade extras exigem que o forçamento f satisfaça certas condições para que o sistema para as constantes seja consistente.
  • Em muitos casos (operadores diferenciais com condições autoadjuntas) essas condições de compatibilidade aparecem como ortogonalidade do forçamento em relação às soluções do problema adjunto. Para operadores auto-adjuntos com condições de contorno homogêneas, a condição costuma ser
\int (f(x)\, \varphi(x))\,dx = 0
para cada \varphi solução do problema homogêneo adjunto (que, no caso auto-adjunto, coincide com o homogêneo original).
  • Exemplo concreto e simples (muito útil na prova): considere
y''+y=f(x),\qquad y(0)=0,\;y(\pi)=0.
A solução homogênea é y_h=A\cos x+B\sin x. As condições homogêneas y(0)=y(\pi)=0 anulam \cos x componente (dá A=0), mas deixam B\sin x livre porque \sin 0=\sin\pi=0. Então y_h=B\sin x não trivial existe. Multiplicando a equação não homogênea por \sin x e integrando por partes (ou usando auto-adjuntidade), obtém-se a condição necessária
\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx = 0.
Se essa condição não for satisfeita, não existe solução; se for satisfeita, existe (na verdade existe uma família de soluções porque se pode somar C\sin x). Isso ilustra como aparece a compatibilidade.

Passo 7

Resumo prático — o que fazer numa prova (passos que você pode aplicar rápido).
  1. Escreva o problema homogêneo associado: substituir f por 0 e g_i por 0.
  2. Resolva o homogêneo e verifique se as condições homogêneas forçam só a solução trivial.
    • Se sim → qualquer solução do não homogêneo (se existir) será única; geralmente um método constrói diretamente essa solução (p. ex. método dos coeficientes indeterminados, var. dos parâmetros, Green’s function).
    • Se não → o homogêneo tem soluções não triviais e:
      • verifique condições de compatibilidade (p. ex. ortogonalidade num caso auto-adjunto) para saber se existe alguma solução do não homogêneo;
      • se existir, espere infinitas soluções (adicionar combinação linear das soluções homogêneas que satisfaçam as condições de contorno).
  3. Use o fato básico: diferença de duas soluções do não homogêneo resolve o homogêneo — esse é o teste de unicidade simples e elegante.

Resposta

O problema homogêneo associado é o problema obtido substituindo por zero o termo forçante e os termos não homogêneos das condições de contorno, isto é,
L[y]=0,\qquad B_i[y]=0,\;i=1,\dots,m.
A relação com existência e unicidade é: se o problema homogêneo só tem a solução trivial então, quando existir, a solução do problema não homogêneo é única; se o homogêneo tem soluções não triviais então, para o problema não homogêneo ou não existem soluções (caso não sejam satisfeitas certas condições de compatibilidade) ou existem infinitas soluções (uma família obtida somando à solução particular combinações das soluções do homogêneo).

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