Exercício R.1.4.4. Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio ( \mathrm{k}=178 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que o ambiente está a 20^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de película de 120 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo (por unidade de área da placa) quando se colocam 6400 aletas do tipo pino por unidade de área.
Dados fornecidos:
Condutividade térmica do alumínio: k=178\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m\cdot{}^\circ C)}.
Coeficiente de película (convecção): h=120\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.
Diâmetro da aleta: D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
Altura (comprimento) da aleta: L=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
Temperatura na base da placa (base da aleta): T_b=300^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
Número de aletas por unidade de área: n=6400\\ \text{aletas/m}^2.
O que será calculado (plano de trabalho, sem resolver ainda): calcular o calor dissipado por uma aleta isoladamente q_f (incluindo convecção na lateral e na ponta), e então obter o aumento de dissipação por unidade de área comparando com a placa lisa (removendo a contribuição convectiva da área de base ocupada pela aleta).
Passo 2
Modelagem da aleta e definições geométricas (fórmulas e interpretação das variáveis).
A aleta é cilíndrica (pino) de diâmetro D e comprimento L.
Área de seção transversal da aleta (área na base), denotada A_c, é
A_c=\frac{\pi D^2}{4}.
Perímetro da seção transversal (perímetro do cilindro, lateral), denotado P, é
P=\pi D.
Temperatura adimensional ao longo da aleta:
\theta(x)=\frac{T(x)-T_\infty}{T_b-T_\infty},
onde x é a coordenada ao longo da aleta (de x=0 na base até x=L na ponta).
Equação diferencial que governa o perfil de temperatura da aleta (regime estacionário, transferência por condução axial e convecção lateral):
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
com
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
As condições de contorno usadas: \theta(0)=1 (base na temperatura T_b) e condição de convecção na ponta:
Ao instalar aletas, a área de base coberta por aletas deixa de estar exposta ao fluido. A área de base ocupada por aletas por unidade de área é nA_c. Calcula-se:
As aletas fornecem adicionalmente n\,q_f de dissipação. Porém devemos subtrair a convecção que teria ocorrido na área de base ocupada pelas aletas (que estava contribuindo na placa lisa). O aumento líquido por unidade de área é portanto