Exercício R.1.4.4. Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio ( \mathrm{k}=178 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que o ambiente está a 20^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de película de 120 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo (por unidade de área da placa) quando se colocam 6400 aletas do tipo pino por unidade de área.
Dados fornecidos:
  • Condutividade térmica do alumínio: k=178\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m\cdot{}^\circ C)}.
  • Coeficiente de película (convecção): h=120\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.
  • Diâmetro da aleta: D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Altura (comprimento) da aleta: L=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura na base da placa (base da aleta): T_b=300^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Número de aletas por unidade de área: n=6400\\ \text{aletas/m}^2.
O que será calculado (plano de trabalho, sem resolver ainda): calcular o calor dissipado por uma aleta isoladamente q_f (incluindo convecção na lateral e na ponta), e então obter o aumento de dissipação por unidade de área comparando com a placa lisa (removendo a contribuição convectiva da área de base ocupada pela aleta).

Passo 2

Modelagem da aleta e definições geométricas (fórmulas e interpretação das variáveis).
  • A aleta é cilíndrica (pino) de diâmetro D e comprimento L.
  • Área de seção transversal da aleta (área na base), denotada A_c, é
A_c=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Perímetro da seção transversal (perímetro do cilindro, lateral), denotado P, é
P=\pi D.
  • Temperatura adimensional ao longo da aleta:
\theta(x)=\frac{T(x)-T_\infty}{T_b-T_\infty},
onde x é a coordenada ao longo da aleta (de x=0 na base até x=L na ponta).
  • Equação diferencial que governa o perfil de temperatura da aleta (regime estacionário, transferência por condução axial e convecção lateral):
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
com
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
As condições de contorno usadas: \theta(0)=1 (base na temperatura T_b) e condição de convecção na ponta:
-kA_c\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=hA_t\,\theta(L),
onde A_t é a área da ponta. Para uma aleta cilíndrica sólida, A_t (área da seção da ponta) é igual a A_c.

Passo 3

Solução geral da equação e expressão para o calor por aleta (dedução e significado das constantes).
  • A solução geral da equação é
\theta(x)=C_1\operatorname{cosh}(mx)+C_2\operatorname{sinh}(mx).
Da condição \theta(0)=1 obtemos C_1=1. A derivada é
\frac{d\theta}{dx}=m\bigl(\operatorname{sinh}(mx)+C_2\operatorname{cosh}(mx)\bigr).
  • Aplicando a condição de convecção na ponta, define-se a constante
\beta=\frac{hA_t}{kA_c}.
Como A_t=A_c para o cilindro, temos \beta=\dfrac{h}{k}. A condição na ponta dá
\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=-\beta\,\theta(L).
Substituindo a solução e resolvendo para C_2 (álgebra direta) obtém-se
C_2=-\,\frac{\beta\operatorname{cosh}(mL)+m\operatorname{sinh}(mL)}{m\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)}.
  • O calor retirado pela aleta é o fluxo na base:
q_f=-kA_c(T_b-T_\infty)\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}.
Como \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{0}=mC_2, substituindo,
q_f = -kA_c m C_2\,(T_b-T_\infty).
Inserindo C_2 resulta numa forma prática (uma forma equivalente, obtida manipulando a expressão):
q_f = kA_c m\,(T_b-T_\infty)\;\frac{\beta\operatorname{cosh}(mL)+m\operatorname{sinh}(mL)}{m\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)}.
Aqui: q_f é o calor dissipada por uma aleta inteira (lado + ponta); cada símbolo significa:
  • k: condutividade da aleta;
  • A_c: área de seção da aleta;
  • m: parâmetro da aleta que combina h,P,k,A_c;
  • \beta: relação entre convecção na ponta e condução da aleta;
  • T_b-T_\infty: diferença de temperatura que impulsiona o fluxo.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo das quantidades geométricas e dos parâmetros m e \beta.
  • Primeiro A_c e P:
A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,005)^2}{4}=\pi\cdot6{,}25\times10^{-6}\approx1{,}9635\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
P=\pi D=\pi\cdot0,005\approx0{,}015708\\ \mathrm{m}.
  • Parâmetro m:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Calcular numericamente:
hP=120\cdot0{,}015708\approx1{,}88496, \qquad kA_c=178\cdot1{,}9635\times10^{-5}\approx0{,}003495.
\frac{hP}{kA_c}\approx\frac{1{,}88496}{0{,}003495}\approx539{,}4, \qquad m\approx\sqrt{539{,}4}\approx23{,}236\\ \mathrm{m^{-1}}.
(Observação: para um cilindro m também se simplifica para m=\sqrt{\dfrac{4h}{kD}}, que dá o mesmo resultado.)
  • Parâmetro da ponta \beta:
\beta=\frac{h}{k}=\frac{120}{178}\approx0{,}67416\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto mL:
mL\approx23{,}236\cdot0{,}03\approx0{,}69708.

Passo 5

Avaliação das funções hiperbólicas e cálculo de q_f.
  • Calcular \operatorname{cosh}(mL) e \operatorname{sinh}(mL) para mL\approx0{,}69708:
\operatorname{cosh}(0{,}69708)\approx1{,}2530,\qquad \operatorname{sinh}(0{,}69708)\approx0{,}7550.
  • Agora calcular o numerador e denominador da fração em q_f:
\beta\operatorname{cosh}(mL)+m\operatorname{sinh}(mL)\approx0{,}67416\cdot1{,}2530+23{,}236\cdot0{,}7550\approx0{,}8449+17{,}542\approx18{,}387.
m\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)\approx23{,}236\cdot1{,}2530+0{,}67416\cdot0{,}7550\approx29{,}118+0{,}509\approx29{,}627.
Fração \approx 18{,}387/29{,}627\approx0{,}6208.
  • Calcular kA_c m:
kA_c m = (178)\cdot(1{,}9635\times10^{-5})\cdot(23{,}236)\approx0{,}08114\\ \mathrm{\dfrac{Kcal}{h\cdot{}^\circ C}}.
  • Diferença de temperatura:
T_b-T_\infty=300-20=280\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Logo o calor por aleta:
q_f = kA_c m\,(T_b-T_\infty)\times0{,}6208\approx0{,}08114\cdot280\cdot0{,}6208\approx14{,}10\\ \mathrm{Kcal/h}.
Portanto cada aleta dissipa aproximadamente q_f\approx14{,}10\\ \mathrm{Kcal/h} (lateral + ponta, assumindo as hipóteses do modelo).

Passo 6

Cálculo do aumento do calor dissipado por unidade de área ao se instalar n=6400 aletas/m ^2.
  • Se não houvesse aletas, a placa lisa dissiparia por unidade de área (fluxo convectivo simples)
\dot q_{\text{lisa}}=h\,(T_b-T_\infty)=120\cdot280=33\,600\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m^2)}.
  • Ao instalar aletas, a área de base coberta por aletas deixa de estar exposta ao fluido. A área de base ocupada por aletas por unidade de área é nA_c. Calcula-se:
nA_c=6400\cdot1{,}9635\times10^{-5}\approx0{,}12567\\ \mathrm{m^2\\ por\\ m^2}.
Portanto a área de placa ainda exposta é 1-nA_c\approx0{,}87433\\ \mathrm{m^2} por 1\\ \mathrm{m^2} de placa.
  • A contribuição convectiva da placa exposta (com aletas instaladas) é
\dot Q_{\text{placa\_exposta}}=h\,(T_b-T_\infty)\,(1-nA_c).
  • As aletas fornecem adicionalmente n\,q_f de dissipação. Porém devemos subtrair a convecção que teria ocorrido na área de base ocupada pelas aletas (que estava contribuindo na placa lisa). O aumento líquido por unidade de área é portanto
\Delta\dot Q = n\bigl(q_f - hA_c(T_b-T_\infty)\bigr).
(Isto é: soma da dissipação das n aletas menos a convecção perdida das áreas de base ocupadas.)
  • Calcular hA_c(T_b-T_\infty) (convecção que a cada base de aleta substituiria):
hA_c(T_b-T_\infty)=33600\cdot1{,}9635\times10^{-5}\approx0{,}6602\\ \mathrm{Kcal/h\\ por\\ aleta}.
  • Assim o ganho por aleta (líquido) é
q_f - hA_c(T_b-T_\infty)\approx14{,}10-0{,}6602\approx13{,}4408\\ \mathrm{Kcal/h\\ por\\ aleta}.
  • Com n=6400 aletas por metro quadrado:
\Delta\dot Q =6400\cdot13{,}4408\approx86\,021\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m^2)}.

Resposta

\Delta\dot Q \approx 8{,}60\times10^{4}\\ \mathrm{Kcal/(h\cdot m^{2})}

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