Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\frac{x-2}{3 x+1}>0

Passo 1

O enunciado pede que eu determine todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade e que faça a representação gráfica. A desigualdade dada é
\frac{x-2}{3x+1} > 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios lineares: numerador x-2 e denominador 3x+1.
  • Preciso encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a fração estritamente positiva (maior que zero).
  • Importante: onde o denominador é zero a expressão não está definida (esses pontos devem ser excluídos).

Passo 2

Encontrar os pontos que anulam o numerador e o denominador (esses são os pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante).
Resolver x-2=0:
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Resolver 3x+1=0:
3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{3}.
Conclusão: os pontos críticos são x=-\tfrac{1}{3} (onde a expressão é indefinida) e x=2 (onde a expressão vale zero).

Passo 3

Dividir a reta real pelos pontos críticos em três intervalos onde o sinal da expressão \dfrac{x-2}{3x+1} será constante:
(-\infty,\,-\tfrac{1}{3}),\qquad \bigl(-\tfrac{1}{3},\,2\bigr),\qquad (2,\,+\infty).
Explicação didática rápida: cada fator linear muda de sinal ao passar pela sua raiz; entre raízes o sinal dos fatores é constante, então o sinal da fração só pode mudar nesses pontos críticos.

Passo 4

Analisar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo. Lembre que o sinal da fração é o produto dos sinais do numerador e do denominador.
Sinal do numerador x-2:
  • Para x<2: x-2<0 (numerador negativo).
  • Para x>2: x-2>0 (numerador positivo).
  • Em x=2: numerador zero.
Sinal do denominador 3x+1:
  • Para x<-\tfrac{1}{3}: 3x+1<0 (denominador negativo).
  • Para x>-\tfrac{1}{3}: 3x+1>0 (denominador positivo).
  • Em x=-\tfrac{1}{3}: denominador zero (expressão indefinida).

Passo 5

Testar um valor representante em cada intervalo (é uma maneira prática e segura) e determinar o sinal da fração.
  1. Intervalo (-\infty,\,-\tfrac{1}{3}). Tomo x=-1 (que está nesse intervalo).
  • Numerador: -1-2=-3<0.
  • Denominador: 3(-1)+1=-3+1=-2<0.
  • Fração: negativo dividido por negativo = positivo. Logo em (-\infty,\,-\tfrac{1}{3}) a expressão é >0.
  1. Intervalo (-\tfrac{1}{3},\,2). Tomo x=0.
  • Numerador: 0-2=-2<0.
  • Denominador: 3\cdot0+1=1>0.
  • Fração: negativo dividido por positivo = negativo. Logo em (-\tfrac{1}{3},\,2) a expressão é <0.
  1. Intervalo (2,\,+\infty). Tomo x=3.
  • Numerador: 3-2=1>0.
  • Denominador: 3\cdot3+1=10>0.
  • Fração: positivo dividido por positivo = positivo. Logo em (2,\,+\infty) a expressão é >0.

Passo 6

Concluir o conjunto de soluções para a desigualdade \dfrac{x-2}{3x+1}>0.
  • São os intervalos onde a expressão deu positiva: (-\infty,\,-\tfrac{1}{3}) e (2,\,+\infty).
  • Atenção aos pontos críticos: x=-\tfrac{1}{3} deve ser excluído porque o denominador é zero (expressão indefinida); x=2 também é excluído porque aí a fração vale 0 (mas queremos estritamente >0).

Passo 7

Como representar graficamente no eixo numérico (descrição para você desenhar rápido na prova):
  • Marque os pontos -\tfrac{1}{3} e 2 no eixo.
  • Faça círculos abertos em ambos (pois não pertencem à solução).
  • Pinte (sombreie) a reta à esquerda de -\tfrac{1}{3} e a reta à direita de 2.
    Isso mostra visualmente a união (-\infty,\,-\tfrac{1}{3})\cup(2,\infty).

Passo 8

Receita geral que funciona para qualquer desigualdade racional do tipo \dfrac{P(x)}{Q(x)}\;\square\;0 (onde \square é >, <, \ge, \le):
  1. Encontre as raízes de P(x) (onde a expressão pode virar zero).
  2. Encontre as raízes de Q(x) (onde a expressão é indefinida).
  3. Ordene esses pontos e divida a reta em intervalos.
  4. Em cada intervalo, use um ponto teste ou faça tabela de sinais para decidir o sinal da razão.
  5. Monte a solução levando em conta se a desigualdade é estrita ou não (incluir raízes do numerador só se \ge e nunca incluir raízes do denominador).

Resposta

\;(-\infty,\,-\tfrac{1}{3})\cup(2,\,+\infty)