Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade e que faça a representação gráfica. A desigualdade dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é uma razão entre dois polinômios lineares: numerador
e denominador . - Preciso encontrar todos os
que tornam a fração estritamente positiva (maior que zero). - Importante: onde o denominador é zero a expressão não está definida (esses pontos devem ser excluídos).
Passo 2
Encontrar os pontos que anulam o numerador e o denominador (esses são os pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante).
Resolver
:
Resolver
:
Conclusão: os pontos críticos são
(onde a expressão é indefinida) e
(onde a expressão vale zero).
Passo 3
Dividir a reta real pelos pontos críticos em três intervalos onde o sinal da expressão
será constante:
Explicação didática rápida: cada fator linear muda de sinal ao passar pela sua raiz; entre raízes o sinal dos fatores é constante, então o sinal da fração só pode mudar nesses pontos críticos.
Passo 4
Analisar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo. Lembre que o sinal da fração é o produto dos sinais do numerador e do denominador.
Sinal do numerador
:
- Para
: (numerador negativo). - Para
: (numerador positivo). - Em
: numerador zero.
Sinal do denominador
:
- Para
: (denominador negativo). - Para
: (denominador positivo). - Em
: denominador zero (expressão indefinida).
Passo 5
Testar um valor representante em cada intervalo (é uma maneira prática e segura) e determinar o sinal da fração.
- Intervalo
. Tomo (que está nesse intervalo).
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração: negativo dividido por negativo = positivo. Logo em
a expressão é .
- Intervalo
. Tomo .
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração: negativo dividido por positivo = negativo. Logo em
a expressão é .
- Intervalo
. Tomo .
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração: positivo dividido por positivo = positivo. Logo em
a expressão é .
Passo 6
Concluir o conjunto de soluções para a desigualdade
.
- São os intervalos onde a expressão deu positiva:
e . - Atenção aos pontos críticos:
deve ser excluído porque o denominador é zero (expressão indefinida); também é excluído porque aí a fração vale (mas queremos estritamente ).
Passo 7
Como representar graficamente no eixo numérico (descrição para você desenhar rápido na prova):
- Marque os pontos
e no eixo. - Faça círculos abertos em ambos (pois não pertencem à solução).
- Pinte (sombreie) a reta à esquerda de
e a reta à direita de .
Isso mostra visualmente a união.
Passo 8
Receita geral que funciona para qualquer desigualdade racional do tipo
(onde
é
,
,
,
):
- Encontre as raízes de
(onde a expressão pode virar zero). - Encontre as raízes de
(onde a expressão é indefinida). - Ordene esses pontos e divida a reta em intervalos.
- Em cada intervalo, use um ponto teste ou faça tabela de sinais para decidir o sinal da razão.
- Monte a solução levando em conta se a desigualdade é estrita ou não (incluir raízes do numerador só se
e nunca incluir raízes do denominador).