Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\frac{x-3}{x^{2}+1}<0

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
\frac{x-3}{x^{2}+1}<0
e fazer a representação gráfica (número real com a região onde a desigualdade vale).
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \,x-3.
  • O denominador é \,x^{2}+1.
  • A desigualdade é estrita ( <0), logo pontos onde a expressão vale 0 não pertencem à solução.
  • É importante notar se há valores de x que tornam o denominador igual a zero (pois aí a expressão não está definida). Se houver, esses pontos devem ser excluídos do conjunto solução.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática e concreta): para desigualdades racionais do tipo \dfrac{N(x)}{D(x)}<0 procede-se assim:
  1. Identificar as raízes do numerador N(x)=0 e as raízes do denominador D(x)=0. Esses pontos são os “pontos críticos” que dividem a reta numérica em intervalos.
  2. Em cada intervalo determinado por esses pontos críticos testar o sinal da expressão; a expressão muda de sinal somente nos pontos críticos onde um fator muda de sinal.
  3. Construir a solução como a união dos intervalos em que a expressão tem sinal negativo (ou positivo, conforme o caso), lembrando de excluir pontos onde a expressão não está definida e também excluir as raízes do numerador se a desigualdade for estrita.
    No nosso caso vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Analisar o denominador e o domínio da expressão:
  • Para todo x real vale \,x^{2}\ge 0. Portanto
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1,
ou seja \,x^{2}+1\ge 1 para todo x. Logo \,x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão importante: o denominador nunca se anula e é sempre positivo.
Isso implica que a expressão está definida para todo x\in\mathbb{R} (não há buracos nem assíntotas verticais) e que o sinal da fração é exatamente o mesmo sinal do numerador, pois dividir por uma quantidade sempre positiva não altera o sinal.

Passo 4

Reduzir a desigualdade usando a positividade do denominador:
Como \,x^{2}+1>0 para todo x, podemos equivaler a desigualdade a
\frac{x-3}{x^{2}+1}<0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x-3<0.
Aqui a justificativa é: dividir ambos os lados de uma desigualdade por uma função que é estritamente positiva para todos os x não altera o sentido da desigualdade.

Passo 5

Resolver a desigualdade linear resultante:
x-3<0 \quad\Longrightarrow\quad x<3.
Como a desigualdade é estrita, o ponto x=3 (onde o numerador se anula e a fração vale 0) não pertence à solução.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida do comportamento da função:
  • Para x<3 o numerador \,x-3 é negativo e o denominador é positivo, logo a fração é negativa (satisfaz a desigualdade).
  • Para x=3 a fração vale 0 (não satisfaz a desigualdade estrita).
  • Para x>3 o numerador é positivo e o denominador positivo, logo a fração é positiva (não satisfaz).
    Tudo está coerente com a redução feita.

Passo 7

Representação gráfica (como desenhar o gráfico/signo na reta):
  • Na reta numérica marque o ponto 3 com um círculo aberto (porque x=3 não está incluído).
  • Sombree (pinte) toda a região à esquerda de 3 (isto é, todos os números menores que 3). Essa região corresponde aos x que satisfazem a desigualdade.
  • À direita de 3 não sombreie nada.
    Como comentário visual: o gráfico da função f(x)=\dfrac{x-3}{x^{2}+1} cruza o eixo x em x=3; à esquerda desse ponto f(x)<0, à direita f(x)>0.

Passo 8

Receita rápida, para lembrar na prova (passos práticos):
  1. Verificar domínio: eliminar pontos onde o denominador é zero.
  2. Encontrar zeros do numerador e do denominador (pontos críticos).
  3. Montar os intervalos na reta real determinados por esses pontos.
  4. Testar o sinal da expressão em cada intervalo (ou usar conhecimento sobre paridade da multiplicidade das raízes).
  5. Construir a solução, tomando cuidado com desigualdades estritas/não estritas e excluindo pontos fora do domínio.

Resposta

(-\infty,3)