Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
e fazer a representação gráfica (número real com a região onde a desigualdade vale).
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A desigualdade é estrita (
), logo pontos onde a expressão vale não pertencem à solução. - É importante notar se há valores de
que tornam o denominador igual a zero (pois aí a expressão não está definida). Se houver, esses pontos devem ser excluídos do conjunto solução.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática e concreta): para desigualdades racionais do tipo
procede-se assim:
- Identificar as raízes do numerador
e as raízes do denominador . Esses pontos são os “pontos críticos” que dividem a reta numérica em intervalos. - Em cada intervalo determinado por esses pontos críticos testar o sinal da expressão; a expressão muda de sinal somente nos pontos críticos onde um fator muda de sinal.
- Construir a solução como a união dos intervalos em que a expressão tem sinal negativo (ou positivo, conforme o caso), lembrando de excluir pontos onde a expressão não está definida e também excluir as raízes do numerador se a desigualdade for estrita.
No nosso caso vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Analisar o denominador e o domínio da expressão:
- Para todo
real vale . Portanto
ou seja
para todo
. Logo
para todo
. Conclusão importante: o denominador nunca se anula e é sempre positivo.
Isso implica que a expressão está definida para todo (não há buracos nem assíntotas verticais) e que o sinal da fração é exatamente o mesmo sinal do numerador, pois dividir por uma quantidade sempre positiva não altera o sinal.
Isso implica que a expressão está definida para todo
Passo 4
Reduzir a desigualdade usando a positividade do denominador:
Como para todo
, podemos equivaler a desigualdade a
Como
Aqui a justificativa é: dividir ambos os lados de uma desigualdade por uma função que é estritamente positiva para todos os
não altera o sentido da desigualdade.
Passo 5
Resolver a desigualdade linear resultante:
Como a desigualdade é estrita, o ponto
(onde o numerador se anula e a fração vale
) não pertence à solução.
Passo 6
Interpretação e verificação rápida do comportamento da função:
- Para
o numerador é negativo e o denominador é positivo, logo a fração é negativa (satisfaz a desigualdade). - Para
a fração vale (não satisfaz a desigualdade estrita). - Para
o numerador é positivo e o denominador positivo, logo a fração é positiva (não satisfaz).
Tudo está coerente com a redução feita.
Passo 7
Representação gráfica (como desenhar o gráfico/signo na reta):
- Na reta numérica marque o ponto
com um círculo aberto (porque não está incluído). - Sombree (pinte) toda a região à esquerda de
(isto é, todos os números menores que ). Essa região corresponde aos que satisfazem a desigualdade. - À direita de
não sombreie nada.
Como comentário visual: o gráfico da funçãocruza o eixo em ; à esquerda desse ponto , à direita .
Passo 8
Receita rápida, para lembrar na prova (passos práticos):
- Verificar domínio: eliminar pontos onde o denominador é zero.
- Encontrar zeros do numerador e do denominador (pontos críticos).
- Montar os intervalos na reta real determinados por esses pontos.
- Testar o sinal da expressão em cada intervalo (ou usar conhecimento sobre paridade da multiplicidade das raízes).
- Construir a solução, tomando cuidado com desigualdades estritas/não estritas e excluindo pontos fora do domínio.