Exercício 5:
Determine o comprimento de uma volta completa de um círculo de raio
, usando os conteúdos de Funções Vetoriais.
Determine o comprimento de uma volta completa de um círculo de raio
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comprimento de uma volta completa de um círculo de raio
.
Informações dadas: o círculo tem raio .
O que é pedido explicitamente: o comprimento da circunferência inteira (uma volta completa).
Informações dadas: o círculo tem raio
O que é pedido explicitamente: o comprimento da circunferência inteira (uma volta completa).
Passo 2
Escolher uma parametrização vetorial que descreva o círculo. Uma parametrização muito natural é usar o ângulo polar como parâmetro. Definimos a função vetorial
com
variando de
a
.
Explicação: para cada temos um ponto do plano com coordenadas
, que está à distância
da origem (verificação abaixo). Quando
vai de
até
cobrimos a circunferência uma vez completa e voltamos ao ponto inicial, porque
.]
Explicação: para cada
Passo 3
Verificação rápida de que a parametrização realmente descreve o círculo de raio
. Calculamos a distância do ponto
até a origem:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
portanto todo ponto está a distância
da origem, ou seja, está sobre a circunferência de raio
. (Nota: tomamos a raiz positiva porque
é o raio e é positivo.)
Passo 4
Apresentar a fórmula de comprimento de arco para funções vetoriais e explicar seu significado.
Se tivermos uma curva parametrizada por para
, o comprimento da curva entre
e
é dado por
Se tivermos uma curva parametrizada por
Intuição didática:
é o vetor velocidade (derivada componente a componente). Para um pequeno incremento
, o deslocamento aproximado é
. O comprimento desse pequeno deslocamento é aproximadamente
. Somando (integrando) essas pequenas contribuições ao longo do intervalo obtemos o comprimento total.
Passo 5
Calcular a derivada
e sua norma para a nossa parametrização. Derivando componente a componente:
Agora a norma (o módulo do vetor velocidade) é
Usando novamente
, obtemos
Observação importante: para essa parametrização a velocidade é constante e igual a
— isso facilita muito as contas.]
Passo 6
Aplicar a fórmula do comprimento com os limites do parâmetro que dão uma volta completa. Usando
e
,
Como
é constante fora da integral,
Passo 7
Comentário prático para prova (truque rápido): em radianos o comprimento de arco correspondente a um ângulo
num círculo de raio
é
. Uma volta completa corresponde a
, logo
. Isso é útil para responder rápido sem integração explícita quando o parâmetro é o ângulo.