Exercício 5:
Determine o comprimento de uma volta completa de um círculo de raio a, usando os conteúdos de Funções Vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento de uma volta completa de um círculo de raio a.
Informações dadas: o círculo tem raio a.
O que é pedido explicitamente: o comprimento da circunferência inteira (uma volta completa).

Passo 2

Escolher uma parametrização vetorial que descreva o círculo. Uma parametrização muito natural é usar o ângulo polar como parâmetro. Definimos a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}a\cos t\\[4pt] a\sin t\end{pmatrix},
com t variando de 0 a 2\pi.
Explicação: para cada t temos um ponto do plano com coordenadas (a\cos t,a\sin t), que está à distância a da origem (verificação abaixo). Quando t vai de 0 até 2\pi cobrimos a circunferência uma vez completa e voltamos ao ponto inicial, porque \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi).]

Passo 3

Verificação rápida de que a parametrização realmente descreve o círculo de raio a. Calculamos a distância do ponto \mathbf{r}(t) até a origem:
\|\mathbf{r}(t)\|=\sqrt{(a\cos t)^2+(a\sin t)^2}=\sqrt{a^2(\cos^2 t+\sin^2 t)}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^2 t+\sin^2 t=1 obtemos
\|\mathbf{r}(t)\|=\sqrt{a^2}=a,
portanto todo ponto está a distância a da origem, ou seja, está sobre a circunferência de raio a. (Nota: tomamos a raiz positiva porque a é o raio e é positivo.)

Passo 4

Apresentar a fórmula de comprimento de arco para funções vetoriais e explicar seu significado.
Se tivermos uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) para t\in[t_1,t_2], o comprimento da curva entre t_1 e t_2 é dado por
L=\int_{t_1}^{t_2}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Intuição didática: \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente). Para um pequeno incremento \Delta t, o deslocamento aproximado é \Delta\mathbf{r}\approx \mathbf{r}'(t)\Delta t. O comprimento desse pequeno deslocamento é aproximadamente \|\mathbf{r}'(t)\|\Delta t. Somando (integrando) essas pequenas contribuições ao longo do intervalo obtemos o comprimento total.

Passo 5

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) e sua norma para a nossa parametrização. Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}-a\sin t\\[4pt] a\cos t\end{pmatrix}.
Agora a norma (o módulo do vetor velocidade) é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}=\sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)}.
Usando novamente \sin^2 t+\cos^2 t=1, obtemos
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{a^2}=a.
Observação importante: para essa parametrização a velocidade é constante e igual a a — isso facilita muito as contas.]

Passo 6

Aplicar a fórmula do comprimento com os limites do parâmetro que dão uma volta completa. Usando t_1=0 e t_2=2\pi,
L=\int_{0}^{2\pi}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\int_{0}^{2\pi} a\,dt.
Como a é constante fora da integral,
L=a\int_{0}^{2\pi} dt = a\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=a(2\pi-0)=2\pi a.

Passo 7

Comentário prático para prova (truque rápido): em radianos o comprimento de arco correspondente a um ângulo \theta num círculo de raio a é s=a\theta. Uma volta completa corresponde a \theta=2\pi, logo s=a\cdot 2\pi=2\pi a. Isso é útil para responder rápido sem integração explícita quando o parâmetro é o ângulo.

Resposta

2\pi a

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