Exercício 6. Determine o menor número \theta>6 \pi tal que \operatorname{sen} \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o menor \theta>6\pi que satisfaça \operatorname{sen}\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. O conteúdo necessário é a solução geral da equação \operatorname{sen}\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e a escolha do menor valor acima de 6\pi.

Passo 2

A equação \operatorname{sen}\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2} tem duas famílias de soluções:
\theta = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad\text{e}\quad \theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,
onde k é um número inteiro.

Passo 3

Queremos o menor \theta>6\pi. Tomando o primeiro caso \theta=\tfrac{\pi}{4}+2\pi k, impomos
\frac{\pi}{4} + 2\pi k > 6\pi \;\Longrightarrow\; 2\pi k > 6\pi - \frac{\pi}{4} \;\Longrightarrow\; k > \frac{6\pi - \pi/4}{2\pi} = \frac{23}{8} = 2{,}875.
Como k deve ser inteiro, o menor k é 3.

Passo 4

Para k=3 obtemos
\theta = \frac{\pi}{4} + 2\pi\cdot3 = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{25\pi}{4}.
No segundo caso \theta=\tfrac{3\pi}{4}+2\pi k com k=3 daria \tfrac{27\pi}{4}, que é maior que \tfrac{25\pi}{4}. Logo o menor valor é \tfrac{25\pi}{4}.

Resposta

\theta = \frac{25\pi}{4}.

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