Exercício 0.7 Determine o valor da expressão \left(0,064^{\frac{1}{3}}\right)\left(0,0625^{\frac{1}{4}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão \left(0,064^{\frac{1}{3}}\right)\left(0,0625^{\frac{1}{4}}\right). As informações dadas são os dois números decimais 0,064 e 0,0625 elevados, respectivamente, às potências \frac{1}{3} e \frac{1}{4}.

Passo 2

Antes de começar a conta, vamos lembrar o que significa uma potência com expoente fracionário. Para qualquer número positivo a e inteiro n\ge 1,
a^{\frac{1}{n}}
é a raiz enésima de a (ou seja, o número que elevado a n a). Exemplo simples: \;27^{\frac{1}{3}}=3\; porque 3^3=27. Esse conceito é o que usamos aqui: \;0,064^{\frac{1}{3}} é a raiz cúbica de 0,064 e \;0,0625^{\frac{1}{4}} é a raiz quarta de 0,0625.

Passo 3

Vamos calcular \;0,064^{\frac{1}{3}}.
Primeiro escrevemos 0,064 como fração de potências inteiras:
0,064=\frac{64}{1000}.
Note que 64=4^3 e 1000=10^3, portanto
0,064=\frac{4^3}{10^3}=\left(\frac{4}{10}\right)^3.
Tomando a raiz cúbica (expoente \frac{1}{3}) temos
0,064^{\frac{1}{3}}=\left(\left(\frac{4}{10}\right)^3\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{10}=0,4.
Aqui usei a propriedade de potências \left(x^a\right)^b=x^{ab}.

Passo 4

Agora calculamos \;0,0625^{\frac{1}{4}}.
Escrevemos 0,0625 como fração:
0,0625=\frac{625}{10000}.
Observe que 625=5^4 e 10000=10^4, logo
0,0625=\frac{5^4}{10^4}=\left(\frac{5}{10}\right)^4.
Tomando a raiz quarta (expoente \frac{1}{4}) resulta
0,0625^{\frac{1}{4}}=\left(\left(\frac{5}{10}\right)^4\right)^{\frac{1}{4}}=\frac{5}{10}=0,5.

Passo 5

Multiplicamos os dois resultados:
\left(0,064^{\frac{1}{3}}\right)\left(0,0625^{\frac{1}{4}}\right)=0,4\cdot 0,5.
Fazendo em forma de fração para ficar bem claro:
\frac{4}{10}\cdot\frac{5}{10}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}.
Em decimal isso é
\frac{1}{5}=0,2.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre que vir decimais “bonitos” como 0,064 ou 0,0625, tente escrevê-los como \left(\frac{\text{inteiro}}{10^k}\right)^n. Assim você transforma raízes em frações simples sem precisar de calculadora.

Resposta

0,2