Exercício 9: Determine y(0) para
y(t)=x(t) * x(-t), sendo X(j \omega)=G_{\pi}(\omega)

Passo 1

O enunciado pede para determinar y(0) onde
y(t)=x(t)*x(-t)
e é dada a transformada de Fourier de x(t) como \;X(j\omega)=G_{\pi}(\omega)\;.
Informações relevantes dadas:
\text{(i)}\; y(t)=x(t)*x(-t),\qquad \text{(ii)}\; X(j\omega)=G_{\pi}(\omega).
A única quantidade pedida é y(0).

Passo 2

Vamos usar propriedades da transformada de Fourier porque o enunciado fornece X(j\omega). As propriedades que usaremos e suas justificativas (explicadas sem pular etapas):
Propriedade A — Transformada da reversão temporal: a transformada de Fourier de x(-t) é X(-j\omega). Prova curta:
\mathcal{F}\{x(-t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} x(-t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
faça a mudança de variável \tau=-t, então dt=-d\tau e quando t varia de -\infty a +\infty, \tau varia de +\infty a -\infty; invertendo os limites o sinal desaparece e obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,e^{+j\omega \tau}\,d\tau = X(-j\omega).
Logo \mathcal{F}\{x(-t)\}=X(-j\omega).
Propriedade B — Transformada da convolução: a transformada de Fourier do produto de convolução é o produto das transformadas:
\mathcal{F}\{x_1(t)*x_2(t)\}=X_1(j\omega)\cdot X_2(j\omega).
Isto vem diretamente de substituir a definição de convolução na integral da transformada e trocar a ordem de integração (teorema de Fubini), obtendo o produto das transformadas.
Propriedade C — Valor no tempo t=0 pela transformada: para qualquer y(t) com transformada Y(j\omega) vale
y(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(j\omega)\,d\omega,
porque a fórmula da transformada inversa é
y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega,
e em t=0 a exponencial vira 1.

Passo 3

Aplique as propriedades aos sinais do enunciado. Primeiro calcule a transformada de y(t):
Y(j\omega)=\mathcal{F}\{x(t)*x(-t)\}=X(j\omega)\cdot\mathcal{F}\{x(-t)\}.
Pela Propriedade A, \mathcal{F}\{x(-t)\}=X(-j\omega). Assim
Y(j\omega)=X(j\omega)\,X(-j\omega).
Substituindo a informação do enunciado X(j\omega)=G_{\pi}(\omega) obtemos
Y(j\omega)=G_{\pi}(\omega)\,G_{\pi}(-\omega).

Passo 4

Agora usamos a forma específica de G_{\pi}(\omega)\). Tipicamente \(G_{\pi}(\omega)\) denota a função retangular unitária de suporte \(|\omega|\le \pi\), ou seja \[G_{\pi}(\omega)= \begin{cases} 1, & |\omega|\le \pi,\\[4pt] 0, & |\omega|>\pi. \end{cases}
Essa função é par (simétrica), isto é G_{\pi}(-\omega)=G_{\pi}(\omega)\]. Portanto \[Y(j\omega)=G_{\pi}(\omega)\,G_{\pi}(-\omega)=G_{\pi}(\omega)^2=G_{\pi}(\omega),\] pois \(G_{\pi}(\omega) toma apenas os valores 0 ou 1, e 1^2=1,\;0^2=0.]

Passo 5

Calcule y(0) pela Propriedade C:
y(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(j\omega)\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G_{\pi}(\omega)\,d\omega.
Como G_{\pi}(\omega)=1 somente para |\omega|\le\pi e zero fora, a integral reduz-se a
\int_{-\infty}^{\infty} G_{\pi}(\omega)\,d\omega=\int_{-\pi}^{\pi} 1\,d\omega=2\pi.
Portanto
y(0)=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi = 1.

Resposta

1

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