Exercício 9: Determine
para
, sendo
Passo 1
O enunciado pede para determinar
onde
e é dada a transformada de Fourier de
como
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A única quantidade pedida é
.
Passo 2
Vamos usar propriedades da transformada de Fourier porque o enunciado fornece
. As propriedades que usaremos e suas justificativas (explicadas sem pular etapas):
Propriedade A — Transformada da reversão temporal: a transformada de Fourier de
é
. Prova curta:
faça a mudança de variável
, então
e quando
varia de
a
,
varia de
a
; invertendo os limites o sinal desaparece e obtemos
Logo
.
Propriedade B — Transformada da convolução: a transformada de Fourier do produto de convolução é o produto das transformadas:
Isto vem diretamente de substituir a definição de convolução na integral da transformada e trocar a ordem de integração (teorema de Fubini), obtendo o produto das transformadas.
Propriedade C — Valor no tempo
pela transformada: para qualquer
com transformada
vale
porque a fórmula da transformada inversa é
e em
a exponencial vira
.
Passo 3
Aplique as propriedades aos sinais do enunciado. Primeiro calcule a transformada de
:
Pela Propriedade A,
. Assim
Substituindo a informação do enunciado
obtemos
Passo 4
Agora usamos a forma específica de
Essa função é par (simétrica), isto é
toma apenas os valores
ou
, e
.]
Passo 5
Calcule
pela Propriedade C:
Como
somente para
e zero fora, a integral reduz-se a
Portanto