Exercício 8: Determine x[n] cujas transformadas Fourier são dadas por \quad X\left(e^{j \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |\omega| \leq W \\\\ 0, & W<|\omega| \leq \pi\end{array}\right., sendo X\left(e^{j \omega}\right)=X\left(e^{j(\omega+2 \pi)}\right) e escreva o resultado usando \operatorname{sinc}(\theta)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Fourier discreta (DTFT) [X\left(e^{j\omega}\right)) e pede o sinal discreto x[n] cuja DTFT é essa. Informações relevantes do enunciado:
e satisfaz a periodicidade \;X\left(e^{j\omega}\right)=X\left(e^{j(\omega+2\pi)}\right)\].
- A variável \(\omega é a frequência angular discreta, com suporte principal em -\pi\le\omega\le\pi.
- A incógnita é x[n] para todo inteiro n.
Não resolvemos nada ainda — só recapitulei o que o problema pede e as informações que temos.]
Passo 2
Vamos usar a fórmula de inversa da DTFT. Explico bem o que é e o que cada termo significa.
A inversa da DTFT diz que, para um sinal discreto x[n] com transformada X\left(e^{j\omega}\right),
n é um inteiro (índice do sinal no tempo discreto).
\omega é a variável de integração (frequência angular).
e^{j\omega n} é a base complexa usada na síntese (análogo ao termo e^{j\omega t} na transformada contínua).
O fator 1/(2\pi) normaliza a integral no intervalo de uma periódica 2\pi.
Essa fórmula é a ferramenta para obter x[n] a partir de X\left(e^{j\omega}\right).
Passo 3
Substituímos X\left(e^{j\omega}\right) pelo retângulo dado: ele vale 1 somente em |\omega|\le W e 0 fora. Assim a integral reduz-se ao intervalo [-W,W]:
a expressão vale para todo inteiro n se entendermos \operatorname{sinc}(0)=1.
Passo 8
Interpretação rápida (pra te motivar): x[n] é uma sequência sinc discreta infinita (não causal), simétrica (real e par), com largura no domínio da frequência controlada por W. Em provas, reconhecer retângulo em frequência → sinc no tempo é um padrão que cai bastante.