Exercício 8: Determine x[n] cujas transformadas Fourier são dadas por
\quad X\left(e^{j \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |\omega| \leq W \\\\ 0, & W<|\omega| \leq \pi\end{array}\right., sendo X\left(e^{j \omega}\right)=X\left(e^{j(\omega+2 \pi)}\right) e escreva o resultado usando \operatorname{sinc}(\theta)

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Fourier discreta (DTFT) [X\left(e^{j\omega}\right)) e pede o sinal discreto x[n] cuja DTFT é essa. Informações relevantes do enunciado:
  • X\left(e^{j\omega}\right) é a função retangular
X\left(e^{j\omega}\right)=\begin{cases} 1, & |\omega|\le W,\\[4pt] 0, & W<|\omega|\le \pi, \end{cases}
e satisfaz a periodicidade \;X\left(e^{j\omega}\right)=X\left(e^{j(\omega+2\pi)}\right)\]. - A variável \(\omega é a frequência angular discreta, com suporte principal em -\pi\le\omega\le\pi.
- A incógnita é x[n] para todo inteiro n.
Não resolvemos nada ainda — só recapitulei o que o problema pede e as informações que temos.]

Passo 2

Vamos usar a fórmula de inversa da DTFT. Explico bem o que é e o que cada termo significa.
A inversa da DTFT diz que, para um sinal discreto x[n] com transformada X\left(e^{j\omega}\right),
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X\left(e^{j\omega}\right)\,e^{j\omega n}\,d\omega.
Aqui:
  • n é um inteiro (índice do sinal no tempo discreto).
  • \omega é a variável de integração (frequência angular).
  • e^{j\omega n} é a base complexa usada na síntese (análogo ao termo e^{j\omega t} na transformada contínua).
  • O fator 1/(2\pi) normaliza a integral no intervalo de uma periódica 2\pi.
Essa fórmula é a ferramenta para obter x[n] a partir de X\left(e^{j\omega}\right).

Passo 3

Substituímos X\left(e^{j\omega}\right) pelo retângulo dado: ele vale 1 somente em |\omega|\le W e 0 fora. Assim a integral reduz-se ao intervalo [-W,W]:
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} e^{j\omega n}\,d\omega.
Isso já simplifica bastante: agora é só calcular essa integral, que depende de n.

Passo 4

Calculo da integral para n\neq 0. Para n\neq 0 podemos integrar exponencial diretamente:
\int_{-W}^{W} e^{j\omega n}\,d\omega = \left.\frac{e^{j\omega n}}{j n}\right|_{-W}^{W} = \frac{e^{jW n}-e^{-jW n}}{j n}.
Agora uso a identidade e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta. Aplicando com \theta=W n:
\frac{e^{jW n}-e^{-jW n}}{j n} = \frac{2j\sin(W n)}{j n} = \frac{2\sin(W n)}{n}.
Substituindo na expressão de x[n]:
x[n]=\frac{1}{2\pi}\cdot \frac{2\sin(W n)}{n} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin(W n)}{n},\qquad n\neq 0.

Passo 5

Caso n=0. Não podemos dividir por n nesse passo, por isso calculamos diretamente:
x[0]=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} 1\,d\omega = \frac{1}{2\pi}\cdot(2W)=\frac{W}{\pi}.
Verificamos consistência com o caso n\neq 0 tomando limite n\to 0 da expressão obtida em

Passo 6

\lim_{n\to 0}\frac{1}{\pi}\frac{\sin(W n)}{n} = \frac{1}{\pi}\cdot W\lim_{n\to 0}\frac{\sin(W n)}{W n}=\frac{W}{\pi},
pois \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Portanto a expressão pode ser unificada se usarmos a função sinc apropriada.

Passo 7

Definição e reescrita com \operatorname{sinc}. Vou usar a definição
\operatorname{sinc}(\theta)=\frac{\sin\theta}{\theta},
que é a definição não-normalizada (útil aqui porque já temos \sin(W n)/(W n) aparecendo). Observando
\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin(W n)}{n}=\frac{W}{\pi}\cdot\frac{\sin(W n)}{W n}=\frac{W}{\pi}\operatorname{sinc}(W n),
a expressão vale para todo inteiro n se entendermos \operatorname{sinc}(0)=1.

Passo 8

Interpretação rápida (pra te motivar): x[n] é uma sequência sinc discreta infinita (não causal), simétrica (real e par), com largura no domínio da frequência controlada por W. Em provas, reconhecer retângulo em frequência → sinc no tempo é um padrão que cai bastante.

Resposta

\displaystyle x[n]=\frac{W}{\pi}\operatorname{sinc}(W n)

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