1. Determine o produto de inércia da área da seção transversal em relação aos eixos u e v. (Resposta: I_{u v}= 135\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4} )

Passo 1

O enunciado pede: determinar o produto de inércia da área da seção transversal em relação aos eixos u e v.
Informações extraídas da figura (peguei estes números da imagem):
  • A seção é um perfil tipo I formado por duas chapas flange e uma alma (web).
  • Metade da largura da flange à direita da linha y: 150\\ \text{mm}. Portanto, largura total da flange: 300\\ \text{mm}.
  • Espessura da flange: 20\\ \text{mm}.
  • Espessura da alma (web): 20\\ \text{mm}.
  • A distância do centro C (eixo x, y) até a face externa da flange inferior (e também até a face externa da flange superior) é 200\\ \text{mm}. (peguei este número da imagem)
  • O eixo u está girado 20^\circ em relação ao eixo x. (peguei esta orientação da imagem)
  • O problema pede I_{uv} (produto de inércia da área em relação aos eixos u e v).

Passo 2

Vamos determinar as dimensões úteis para modelar a peça como 3 retângulos: flange superior, flange inferior e alma (web). A partir do dado “ 200\\ \text{mm}” (distância do centro até a face externa da flange), calculamos as posições dos centros das flanges e a altura da alma.
  • Distância do centro C até o centróide de cada flange (centro da espessura da flange): \text{distância} = 200\\ \text{mm} - \frac{20\\ \text{mm}}{2} = 200 - 10 = 190\\ \text{mm}.â
  • Posição das faces internas das flanges (onde a alma começa): 200\\ \text{mm} - 20\\ \text{mm} = 180\\ \text{mm} do centro.
  • Altura da alma (web) = distância entre faces internas superior e inferior: h_{\text{web}} = 180 - (-180) = 360\\ \text{mm}.
Agora as áreas:
  • Área de cada flange: A_f = 300\\ \text{mm} \times 20\\ \text{mm} = 6000\\ \text{mm}^2.
  • Área da alma: A_w = 20\\ \text{mm} \times 360\\ \text{mm} = 7200\\ \text{mm}^2.

Passo 3

Recordando fórmulas úteis para retângulos (e explicando devagar):
  • Segundo momento de área de um retângulo em torno de seu eixo horizontal centroidal (eixo paralelo à base, que chamamos aqui de x-local): para um retângulo de largura b (horizontal) e altura h (vertical),
    I_{x,\,\text{centro}} = \frac{b h^{3}}{12}.
    Aqui b é a dimensão paralela ao eixo x (largura do retângulo) e h a dimensão na direção vertical (altura do retângulo). Esta fórmula dá a resistência à flexão em relação ao eixo que corta o retângulo ao meio horizontalmente.
  • Segundo momento de área de um retângulo em torno de seu eixo vertical centroidal (eixo y-local):
    I_{y,\,\text{centro}} = \frac{h b^{3}}{12}.
    Agora b é a dimensão horizontal (base) e h a vertical; esta fórmula dá a resistência em relação ao eixo vertical que passa pelo centro.
Vamos calcular I_x (eixos horizontais) de cada peça em torno do eixo x que passa pelo centróide total (e depois somar), usando o teorema dos eixos paralelos quando necessário.

Passo 4

Cálculo de I_x:
  • Flange (cada uma) — dimensões: b=300\\ \text{mm} (largura), h=20\\ \text{mm} (espessura).
    • Momento de inércia em seu próprio centróide (horizontal): I_{x,f,\text{centro}} = \frac{300\cdot 20^{3}}{12} = \frac{300\cdot 8000}{12} = 200\,000\\ \text{mm}^4.
    • Deslocamento vertical do centróide da flange até o eixo x da peça: d=190\\ \text{mm}.
    • Termo de deslocamento (teorema dos eixos paralelos): A_f d^{2} = 6000\cdot 190^{2} = 6000\cdot 36\,100 = 216\,600\,000\\ \text{mm}^4.
    • Portanto I_{x} de cada flange em relação ao eixo x da peça: I_{x,f} = 200\,000 + 216\,600\,000 = 216\,800\,000\\ \text{mm}^4.
    • Duas flanges juntas: I_{x,\text{flanges}} = 2\cdot 216\,800\,000 = 433\,600\,000\\ \text{mm}^4.
  • Alma (web) — dimensões: b=20\\ \text{mm} (espessura horizontal), h=360\\ \text{mm} (altura vertical). Está centrada no eixo x então não há termo de paralela.
    • Momento de inércia em seu próprio centróide (horizontal): I_{x,w} = \frac{20\cdot 360^{3}}{12}.Calculando: 360^{3}=46\,656\,000,\quad 20\cdot 46\,656\,000 = 933\,120\,000,\quad \frac{933\,120\,000}{12}=77\,760\,000\\ \text{mm}^4.
  • Somando tudo:
    I_{x} = I_{x,\text{flanges}} + I_{x,w} = 433\,600\,000 + 77\,760\,000 = 511\,360\,000\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Cálculo de I_y:
Usamos a fórmula I_{y,\text{centro}}=\dfrac{h b^{3}}{12}, com b a largura (horizontal) e h a altura (vertical) do retângulo.
  • Flange (cada):
    • b=300\\ \text{mm}, h=20\\ \text{mm}: I_{y,f} = \frac{20\cdot 300^{3}}{12} = \frac{20\cdot 27\,000\,000}{12} = 45\,000\,000\\ \text{mm}^4.
    • As flanges estão centradas horizontalmente no eixo y da peça (não há deslocamento em x), então cada uma contribui 45\,000\,000. Duas flanges: I_{y,\text{flanges}} = 2\cdot 45\,000\,000 = 90\,000\,000\\ \text{mm}^4.
  • Alma (web):
    • b=20\\ \text{mm} (horizontal), h=360\\ \text{mm} (vertical): I_{y,w} = \frac{360\cdot 20^{3}}{12} = \frac{360\cdot 8000}{12} = 240\,000\\ \text{mm}^4.
  • Somando:
    I_{y} = I_{y,\text{flanges}} + I_{y,w} = 90\,000\,000 + 240\,000 = 90\,240\,000\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Produto de inércia em x,y (referencial original):
  • Devido à simetria da seção em torno dos eixos x e y (a peça é simétrica verticalmente e horizontalmente com respeito ao ponto C), o produto de inércia em relação aos eixos centroidais x,y é I_{xy}=0.Explicação curta: para cada elemento de área \mathrm{d}A em (x,y) existe um elemento simétrico em ( -x,-y) que anula a contribuição x y\,\mathrm{d}A.

Passo 7

Fórmula de transformação para o produto de inércia quando se roda o sistema de eixos. Se o eixo u é obtido por rotação do eixo x por um ângulo \theta (ângulo positivo no sentido anti-horário), o produto de inércia no novo sistema u,v é:
I_{uv} = (I_{y}-I_{x})\sin\theta\cos\theta + I_{xy}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta).
Aqui:
  • I_x e I_y são os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais originais x e y (já calculados),
  • I_{xy} é o produto de inércia em relação a x,y (aqui 0),
  • \theta é o ângulo do eixo u em relação ao eixo x.
No nosso caso, I_{xy}=0. Observando a figura, o eixo u é girado 20^\circ no sentido horário a partir de x; portanto \theta = -20^\circ. Assim:
I_{uv} = (I_{y}-I_{x})\sin(-20^\circ)\cos(-20^\circ).
Usamos a identidade \sin(-20^\circ)\cos(-20^\circ) = -\sin20^\circ\cos20^\circ = -\tfrac{1}{2}\sin 40^\circ, mas aqui vou calcular diretamente os valores trigonométricos.

Passo 8

Substituindo os valores numéricos:
  • Valores calculados: I_{x} = 511\,360\,000\\ \text{mm}^4,\qquad I_{y} = 90\,240\,000\\ \text{mm}^4,\qquad I_{xy}=0.
  • Diferença: I_{y}-I_{x} = 90\,240\,000 - 511\,360\,000 = -421\,120\,000\\ \text{mm}^4.
  • Valores trigonométricos (com arredondamento razoável): \sin(-20^\circ) = -0{,}342020\quad\text{e}\quad \cos(-20^\circ)=0{,}939693,portanto \sin(-20^\circ)\cos(-20^\circ) = -0{,}342020\cdot 0{,}939693 \approx -0{,}321394.
  • Logo I_{uv} = ( -421\,120\,000 )\cdot ( -0{,}321394 ) \approx 135\,416\,000\\ \text{mm}^4.
Arredondando de forma compatível com a resposta do enunciado:
I_{uv}\approx 135\times 10^{6}\\ \text{mm}^4.

Passo 9

Interpretação rápida e checagem: o sinal positivo final aparece porque a diferença I_{y}-I_{x} é negativa (o perfil é muito mais resistente no eixo x do que em y), e o eixo u foi girado no sentido horário ( \theta<0), levando ao produto de inércia positivo após a multiplicação. O valor coincide com o resultado fornecido.

Resposta

\displaystyle I_{uv}=135\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^{4}

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