- Determine o produto de inércia da área da seção transversal em relação aos eixos
e
. (Resposta:
)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o produto de inércia da área da seção transversal em relação aos eixos
e
.
Informações extraídas da figura (peguei estes números da imagem):
- A seção é um perfil tipo I formado por duas chapas flange e uma alma (web).
- Metade da largura da flange à direita da linha
: . Portanto, largura total da flange: . - Espessura da flange:
. - Espessura da alma (web):
. - A distância do centro
(eixo , ) até a face externa da flange inferior (e também até a face externa da flange superior) é . (peguei este número da imagem) - O eixo
está girado em relação ao eixo . (peguei esta orientação da imagem) - O problema pede
(produto de inércia da área em relação aos eixos e ).
Passo 2
Vamos determinar as dimensões úteis para modelar a peça como 3 retângulos: flange superior, flange inferior e alma (web). A partir do dado “
” (distância do centro até a face externa da flange), calculamos as posições dos centros das flanges e a altura da alma.
- Distância do centro
até o centróide de cada flange (centro da espessura da flange): - Posição das faces internas das flanges (onde a alma começa):
do centro. - Altura da alma (web) = distância entre faces internas superior e inferior:
Agora as áreas:
- Área de cada flange:
- Área da alma:
Passo 3
Recordando fórmulas úteis para retângulos (e explicando devagar):
-
Segundo momento de área de um retângulo em torno de seu eixo horizontal centroidal (eixo paralelo à base, que chamamos aqui de
-local): para um retângulo de largura (horizontal) e altura (vertical), Aquié a dimensão paralela ao eixo (largura do retângulo) e a dimensão na direção vertical (altura do retângulo). Esta fórmula dá a resistência à flexão em relação ao eixo que corta o retângulo ao meio horizontalmente. -
Segundo momento de área de um retângulo em torno de seu eixo vertical centroidal (eixo
-local): Agoraé a dimensão horizontal (base) e a vertical; esta fórmula dá a resistência em relação ao eixo vertical que passa pelo centro.
Vamos calcular
(eixos horizontais) de cada peça em torno do eixo
que passa pelo centróide total (e depois somar), usando o teorema dos eixos paralelos quando necessário.
Passo 4
Cálculo de
:
-
Flange (cada uma) — dimensões:
(largura), (espessura). - Momento de inércia em seu próprio centróide (horizontal):
- Deslocamento vertical do centróide da flange até o eixo
da peça: . - Termo de deslocamento (teorema dos eixos paralelos):
- Portanto
de cada flange em relação ao eixo da peça: - Duas flanges juntas:
- Momento de inércia em seu próprio centróide (horizontal):
-
Alma (web) — dimensões:
(espessura horizontal), (altura vertical). Está centrada no eixo então não há termo de paralela. - Momento de inércia em seu próprio centróide (horizontal):
Calculando:
- Momento de inércia em seu próprio centróide (horizontal):
-
Somando tudo:
Passo 5
Cálculo de
:
Usamos a fórmula
, com
a largura (horizontal) e
a altura (vertical) do retângulo.
-
Flange (cada):
-
, : - As flanges estão centradas horizontalmente no eixo
da peça (não há deslocamento em ), então cada uma contribui . Duas flanges:
-
-
Alma (web):
-
(horizontal), (vertical):
-
-
Somando:
Passo 6
Produto de inércia em
(referencial original):
- Devido à simetria da seção em torno dos eixos
e (a peça é simétrica verticalmente e horizontalmente com respeito ao ponto ), o produto de inércia em relação aos eixos centroidais é Explicação curta: para cada elemento de área em existe um elemento simétrico em que anula a contribuição .
Passo 7
Fórmula de transformação para o produto de inércia quando se roda o sistema de eixos. Se o eixo
é obtido por rotação do eixo
por um ângulo
(ângulo positivo no sentido anti-horário), o produto de inércia no novo sistema
é:
Aqui:
-
e são os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais originais e (já calculados), -
é o produto de inércia em relação a (aqui ), -
é o ângulo do eixo em relação ao eixo .
No nosso caso,
. Observando a figura, o eixo
é girado
no sentido horário a partir de
; portanto
. Assim:
Usamos a identidade
, mas aqui vou calcular diretamente os valores trigonométricos.
Passo 8
Substituindo os valores numéricos:
- Valores calculados:
- Diferença:
- Valores trigonométricos (com arredondamento razoável):
portanto - Logo
Arredondando de forma compatível com a resposta do enunciado:
Passo 9
Interpretação rápida e checagem: o sinal positivo final aparece porque a diferença
é negativa (o perfil é muito mais resistente no eixo
do que em
), e o eixo
foi girado no sentido horário (
), levando ao produto de inércia positivo após a multiplicação. O valor coincide com o resultado fornecido.