Exercício 3 (EX3.3). Adiciona-se energia a um arranjo pistão-cilindro e o pistão é retraído de modo que o produto P V permaneça constante. A pressão e o volume iniciais são 200 kPa e 2 \mathrm{~m}^{3}, respectivamente. Se a pressão final é 100 kPa , calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão.

Passo 1

O enunciado descreve um processo em que o produto P\,V é constante (ou seja, um processo politrópico com expoente n=1). Temos a pressão inicial \,P_1=200\\ \text{kPa} e o volume inicial \,V_1=2\\ \text{m}^3, e a pressão final \,P_2=100\\ \text{kPa}. O objetivo é calcular o trabalho W realizado pelo gás ao expandir de V_1 até V_2. Para isso, usaremos a fórmula
W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV
e a relação P=\dfrac{k}{V}, onde k é a constante do processo.

Passo 2

Determine a constante k do processo usando os valores iniciais:
k = P_1\,V_1 = (200\\ \text{kPa}) \times (2\\ \text{m}^3) = 400\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3.

Passo 3

Calcule o volume final V_2 a partir de P_2 e de k:
V_2 = \frac{k}{P_2} = \frac{400\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3}{100\\ \text{kPa}} = 4\\ \text{m}^3.

Passo 4

Escreva a integral do trabalho substituindo P=\dfrac{k}{V}:
W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{k}{V}\,dV = k \,\ln\!\biggl(\frac{V_2}{V_1}\biggr).

Passo 5

Substitua os valores numéricos de k, V_1 e V_2 e calcule:
W = 400\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3 \,\ln\!\biggl(\frac{4}{2}\biggr) = 400\,\ln(2)\\ \text{kJ} \approx 400 \times 0,6931\\ \text{kJ} \approx 277{,}3\\ \text{kJ}.

Resposta

O trabalho realizado pelo gás sobre o pistão é aproximadamente 277{,}3\\ \text{kJ}.

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