Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(a) 2024
(a) 2024
Passo 1
O enunciado pede: fazer a decomposição em fatores primos do número
.
Informação dada: só o número . O objetivo é escrever
como produto de números primos, por exemplo
, onde cada
é primo e os
são inteiros positivos.
Informação dada: só o número
Passo 2
Conceito e método (aula rápida e prática).
- Decomposição em fatores primos: representar um inteiro maior que
como produto de números primos. Por exemplo, escrever . - Estratégia prática (divisão sucessiva / tentativa por primos): testar divisibilidade por primos pequenos
e dividir enquanto possível. - Testes rápidos que vamos usar:
- Divisibilidade por
: número par (último algarismo ). - Divisibilidade por
: soma dos dígitos múltipla de . - Divisibilidade por
: último algarismo ou . - Divisibilidade por
: diferença entre soma dos dígitos de posições pares e ímpares é múltiplo de (ou alternadamente somar e subtrair os dígitos; se o resultado for ou múltiplo de , é divisível por ).
- Divisibilidade por
- Quando chegar a um fator impar
, testar primitividade verificando divisões por primos até sua raiz quadrada.
Passo 3
Começar pelas divisões por
(já que
é par):
Como depois das três divisões obtivemos um número ímpar (
), paramos de dividir por
. Logo até aqui
Passo 4
Agora fatorar
. Aplicar testes rápidos:
- Soma dos dígitos de
é , não múltiplo de , então não é divisível por . - Último dígito não é
nem , então não é divisível por . - Teste por
: , logo deixa resto , não divisível por . - Teste por
: aplicar o critério de . Alternando sinais nos dígitos: . Resultado indica divisibilidade por . Portanto divide .
Passo 5
Dividir
por
:
Assim
.
Passo 6
Verificar se
é primo: a raiz quadrada de
é aproximadamente
. Basta testar divisibilidade por primos
e
(os únicos primos menores ou iguais a
são
e
).
-
não é par (não divisível por ). - Soma dos dígitos
não é múltiplo de , então não divisível por .
Portantoé primo.
Passo 7
Juntando tudo: de
e
, obtemos a decomposição completa em primos:
Passo 8
Exemplo extra rápido para fixar (sem pular passos): fatorando
— método igual:
logo
. Mesmo método: dividir por pequenos primos repetidamente.