Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(a) 2024

Passo 1

O enunciado pede: fazer a decomposição em fatores primos do número \,2024\,.
Informação dada: só o número \,2024\,. O objetivo é escrever \,2024\, como produto de números primos, por exemplo \,2024 = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2}\cdots, onde cada p_i é primo e os \alpha_i são inteiros positivos.

Passo 2

Conceito e método (aula rápida e prática).
  • Decomposição em fatores primos: representar um inteiro maior que 1 como produto de números primos. Por exemplo, escrever \,N = 2^a 3^b 5^c \cdots.
  • Estratégia prática (divisão sucessiva / tentativa por primos): testar divisibilidade por primos pequenos \,2,3,5,7,11,\dots e dividir enquanto possível.
  • Testes rápidos que vamos usar:
    • Divisibilidade por 2: número par (último algarismo 0,2,4,6,8).
    • Divisibilidade por 3: soma dos dígitos múltipla de 3.
    • Divisibilidade por 5: último algarismo 0 ou 5.
    • Divisibilidade por 11: diferença entre soma dos dígitos de posições pares e ímpares é múltiplo de 11 (ou alternadamente somar e subtrair os dígitos; se o resultado for 0 ou múltiplo de 11, é divisível por 11).
  • Quando chegar a um fator impar >1, testar primitividade verificando divisões por primos até sua raiz quadrada.

Passo 3

Começar pelas divisões por 2 (já que \,2024\, é par):
\frac{2024}{2}=1012
\frac{1012}{2}=506
\frac{506}{2}=253
Como depois das três divisões obtivemos um número ímpar ( 253), paramos de dividir por 2. Logo até aqui
2024 = 2^3 \cdot 253.

Passo 4

Agora fatorar \,253. Aplicar testes rápidos:
  • Soma dos dígitos de \,253 é 2+5+3=10, não múltiplo de 3, então não é divisível por 3.
  • Último dígito não é 0 nem 5, então não é divisível por 5.
  • Teste por 7: 7\cdot36=252, logo 253 deixa resto 1, não divisível por 7.
  • Teste por 11: aplicar o critério de 11. Alternando sinais nos dígitos: 2-5+3=0. Resultado 0 indica divisibilidade por 11. Portanto 11 divide 253.

Passo 5

Dividir \,253 por \,11:
\frac{253}{11}=23.
Assim \,253 = 11 \cdot 23.

Passo 6

Verificar se \,23\, é primo: a raiz quadrada de 23 é aproximadamente 4,79. Basta testar divisibilidade por primos \,2 e \,3 (os únicos primos menores ou iguais a 4,79 são 2 e 3).
  • 23 não é par (não divisível por 2).
  • Soma dos dígitos 2+3=5 não é múltiplo de 3, então não divisível por 3.
    Portanto \,23\, é primo.

Passo 7

Juntando tudo: de \,2024 = 2^3 \cdot 253 e \,253 = 11 \cdot 23, obtemos a decomposição completa em primos:
2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.

Passo 8

Exemplo extra rápido para fixar (sem pular passos): fatorando \,360\, — método igual:
360\div2=180,\quad 180\div2=90,\quad90\div2=45 \Rightarrow 2^3\cdot45,
45\div3=15,\quad 15\div3=5 \Rightarrow 3^2\cdot5,
logo 360=2^3\cdot3^2\cdot5. Mesmo método: dividir por pequenos primos repetidamente.

Resposta

2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23