Exercício 4
Um gerador síncrono trifásico de 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz} possui reatância síncrona (reatância de armadura) de 4.15 \Omega e está operando com uma potência de entrada (mecânica) de 40kW.
a) Calcule a amplitude e fase da tensão gerada \mathrm{E}_{\mathrm{a}} (entre fase e neutro, ou seja, de cada fase) para um fator de potência de 0.85 adiantado, 0.85 adiantado e unitário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de linha do gerador: 460\\ \text{V} (tensão entre fases).
    • Frequência: 60\\ \text{Hz} (não será usada diretamente nos cálculos).
    • Reatância síncrona por fase: X_s = 4{,}15\\ \Omega.
    • Potência mecânica de entrada (assumida igual à potência elétrica entregue): P_\text{total} = 40\\ \text{kW} = 40000\\ \text{W}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a amplitude e a fase da tensão gerada por fase \,E_a (entre fase e neutro) para três casos de fator de potência:
      1. 0{,}85 adiantado (leading).
      2. 0{,}85 atrasado (lagging). (Interpretei que o enunciado repetiu “adiantado” por engano.)
      3. Unidade ( 1{,}0).
Observações importantes que usarei sem perguntar nada:
  • Vou trabalhar por fase (isto é, tensões/fases entre fase e neutro).
  • A tensão de linha 460\\ \text{V} será convertida para tensão de fase por V_t = \dfrac{460}{\sqrt{3}}.
  • Vou desprezar perdas ôhmicas e demais perdas; assumirei P_\text{eléctrico}=P_\text{mecânico}=40000\\ \text{W}éâ.
  • A fórmula central que usarei (equação fasorial da máquina síncrona) é: E_a = V_t + j X_s I_a,onde V_t é a tensão terminal por fase (fasor), I_a é a corrente de armadura por fase (fasor), e jX_s I_a é a queda de tensão na reatância síncrona.

Passo 2

Calcular a tensão de fase V_t e a potência por fase P_{ph}. Explico as fórmulas:
  • A relação entre tensão linha ( V_L) e tensão de fase ( V_t) em sistema trifásico estrela é
V_t=\dfrac{V_L}{\sqrt{3}}.
Aqui V_L=460\\ \text{V}. Então
V_t=\dfrac{460}{\sqrt{3}}\approx 265{,}56\\ \text{V}.
  • A potência ativa por fase é a potência total dividida por 3:
P_{ph}=\dfrac{P_\text{total}}{3}=\dfrac{40000}{3}\approx 13333{,}33\\ \text{W}.
(As aproximações numéricas serão usadas nas contas posteriores.)

Passo 3

Explicar como obtenho a corrente por fase I_a a partir do fator de potência e de P_{ph}.
  • O complexo de potência por fase é \,S_{ph}=P_{ph}+jQ_{ph}, onde Q_{ph} é a potência reativa por fase.
  • Ângulo de potência \varphi é definido por \cos\varphi=\text{pf}. Para \text{pf}=0{,}85:
\varphi=\cos^{-1}(0{,}85)\approx 31{,}79^\circ.
  • Relação entre Q_{ph} e P_{ph}:
Q_{ph}=P_{ph}\tan\varphi,
com sinal:
  • para fator de potência adiantado (leading), a corrente antecipa a tensão, o que corresponde a Q_{ph}<0 (potência reativa entregue ao sistema), então há um sinal negativo;
  • para fator de potência atrasado (lagging), Q_{ph}>0.
  • Relação entre S_{ph} e a corrente por fase (convenção complexa):
S_{ph}=V_t I_a^* \quad\Rightarrow\quad I_a=\left(\dfrac{S_{ph}}{V_t}\right)^*.
Isto significa: calcular S_{ph}, dividir por V_t e tomar o conjugado complexo para obter I_a. Em módulo e ângulo:
|I_a|=\dfrac{|S_{ph}|}{|V_t|},\qquad \angle I_a = -\angle S_{ph}.
Vou aplicar este procedimento caso a caso.

Passo 4

Caso A: \text{pf}=0{,}85 adiantado (leading).
  1. Calcular \varphi:
\varphi=\cos^{-1}(0{,}85)\approx 31{,}79^\circ.
  1. Calcular Q_{ph} (com sinal negativo porque é adiantado):
Q_{ph}=-P_{ph}\tan\varphi=-\left(\dfrac{40000}{3}\right)\tan(31{,}79^\circ).
Numérico:
P_{ph}\approx 13333{,}33\\ \text{W},\qquad \tan(31{,}79^\circ)\approx 0{,}61968,
logo
Q_{ph}\approx -13333{,}33\cdot 0{,}61968 \approx -8262{,}4\\ \text{var}.
  1. Magnitude de S_{ph} e ângulo:
|S_{ph}|=\sqrt{P_{ph}^2+Q_{ph}^2}\approx\sqrt{13333{,}33^2+(-8262{,}4)^2}\approx 15686{,}8\\ \text{VA}.
Ângulo de S_{ph}:
\angle S_{ph}=\arctan\!\left(\dfrac{Q_{ph}}{P_{ph}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-8262{,}4}{13333{,}33}\right)\approx -31{,}79^\circ.
  1. Corrente por fase I_a:
|I_a|=\dfrac{|S_{ph}|}{V_t}\approx \dfrac{15686{,}8}{265{,}56}\approx 59{,}07\\ \text{A}.
Ângulo de I_a:
\angle I_a = -\angle S_{ph} \approx -(-31{,}79^\circ)=+31{,}79^\circ.
Logo
I_a \approx 59{,}07\angle 31{,}79^\circ\\ \text{A}.
  1. Queda de tensão na reatância síncrona:
jX_s I_a = j\cdot 4{,}15\cdot 59{,}07\angle 31{,}79^\circ = 245{,}27\angle(31{,}79^\circ+90^\circ)=245{,}27\angle121{,}79^\circ\\ \text{V}.
Converto para retangular (útil para somar com V_t que tomo referência):
  • \cos121{,}79^\circ=-\sin31{,}79^\circ\approx -0{,}5279.
  • \sin121{,}79^\circ=\cos31{,}79^\circ\approx 0{,}8493.
    Então
jX_s I_a \approx -129{,}47 + j\,208{,}38\\ \text{V}.
  1. Tomando V_t como referência: V_t=265{,}56\angle 0^\circ = 265{,}56 + j0.
E_a = V_t + jX_s I_a \approx (265{,}56 -129{,}47) + j(0 +208{,}38) = 136{,}09 + j\,208{,}38\\ \text{V}.
Magnitude e fase:
|E_a|\approx\sqrt{136{,}09^2+208{,}38^2}\approx 249{,}00\\ \text{V}, \qquad \angle E_a\approx \arctan\!\left(\dfrac{208{,}38}{136{,}09}\right)\approx 56{,}9^\circ.
Portanto, para 0{,}85 adiantado:
E_a \approx 249{,}0\angle 56{,}9^\circ\\ \text{V (por fase)}.

Passo 5

Caso B: \text{pf}=0{,}85 atrasado (lagging).
Os cálculos são análogos ao caso A, mudando apenas o sinal de Q_{ph}.
  1. Ângulo \varphi é o mesmo:
\varphi=\cos^{-1}(0{,}85)\approx 31{,}79^\circ.
  1. Agora Q_{ph}=+P_{ph}\tan\varphi\approx +8262{,}4\\ \text{var}.
  2. |S_{ph}| é o mesmo que antes: \approx 15686{,}8\\ \text{VA}. Ângulo de S_{ph}:
\angle S_{ph}=\arctan\!\left(\dfrac{8262{,}4}{13333{,}33}\right)\approx +31{,}79^\circ.
  1. Corrente por fase:
|I_a|=\dfrac{15686{,}8}{265{,}56}\approx 59{,}07\\ \text{A},\qquad \angle I_a = -\angle S_{ph}\approx -31{,}79^\circ.
Logo
I_a \approx 59{,}07\angle (-31{,}79^\circ)\\ \text{A}.
  1. Queda jX_s I_a:
jX_s I_a = j\cdot 4{,}15\cdot 59{,}07\angle(-31{,}79^\circ) =245{,}27\angle( -31{,}79^\circ+90^\circ)=245{,}27\angle58{,}21^\circ.
Componentes (usando identidades):
  • \cos58{,}21^\circ\approx 0{,}5279.
  • \sin58{,}21^\circ\approx 0{,}8493.
    Então
jX_s I_a \approx 129{,}47 + j\,208{,}38\\ \text{V}.
  1. Somando com V_t:
E_a = 265{,}56 + (129{,}47 + j\,208{,}38) = 395{,}03 + j\,208{,}38\\ \text{V}.
Magnitude e fase:
|E_a|\approx\sqrt{395{,}03^2+208{,}38^2}\approx 446{,}6\\ \text{V}, \qquad \angle E_a\approx \arctan\!\left(\dfrac{208{,}38}{395{,}03}\right)\approx 27{,}3^\circ.
Portanto, para 0{,}85 atrasado:
E_a \approx 446{,}6\angle 27{,}3^\circ\\ \text{V (por fase)}.

Passo 6

Caso C: fator de potência unitário ( \text{pf}=1{,}0).
  1. Para \text{pf}=1, \varphi=0^\circ e Q_{ph}=0.
  2. Então S_{ph}=P_{ph}+j0=13333{,}33\\ \text{VA}.
  3. Corrente por fase:
|I_a|=\dfrac{13333{,}33}{265{,}56}\approx 50{,}20\\ \text{A},\qquad \angle I_a = 0^\circ.
Logo I_a\approx 50{,}20\angle 0^\circ\\ \text{A}.
  1. Queda jX_s I_a:
jX_s I_a = j\cdot 4{,}15\cdot 50{,}20 = 208{,}33\angle 90^\circ = 0 + j\,208{,}33\\ \text{V}.
  1. Somando com V_t:
E_a = 265{,}56 + j\,208{,}33.
Magnitude e fase:
|E_a|\approx\sqrt{265{,}56^2+208{,}33^2}\approx 337{,}5\\ \text{V}, \qquad \angle E_a\approx \arctan\!\left(\dfrac{208{,}33}{265{,}56}\right)\approx 38{,}4^\circ.
Portanto, para \text{pf}=1{,}0:
E_a \approx 337{,}5\angle 38{,}4^\circ\\ \text{V (por fase)}.

Resposta

0{,}85 adiantado: E_a \approx 249{,}0\angle 56{,}9^\circ\\ \text{V}
0{,}85 atrasado: E_a \approx 446{,}6\angle 27{,}3^\circ\\ \text{V}
unitário: E_a \approx 337{,}5\angle 38{,}4^\circ\\ \text{V}

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