Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.
O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em um domínio D\subset\mathbb{R}^2. Precisamos primeiro descrever geometricamente D.

Passo 2

Pela integral original temos
0 \le y \le 1, \qquad -\sqrt{y} \le x \le \sqrt{y}.
Elevar ao quadrado dá x^2 \le y. Assim
D = \{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\;x^2\le y\le 1\},
ou seja, a região entre a parábola y=x^2 e a reta y=1, para -1\le x\le1.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos x primeiro. Vemos que
-1\le x\le 1 \quad\text{e}\quad x^2 \le y \le 1.
Logo a integral com ordem trocada é
\int_{x=-1}^{1}\Bigl[\int_{y=x^2}^{1}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.

Resposta

\int_{-1}^{1}\int_{x^2}^{1}f(x,y)\,dy\,dx.

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