Exercício 3.1. Em \mathbb{R}^{2}, considere as bases \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} (canônica) e \mathcal{C}=\{(1,1),(-1,1)\}. Determine a matriz de mudança de base M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} (da base \mathcal{C} para a base \mathcal{B} ).

Passo 1

O enunciado dá em \mathbb{R}^2 duas bases:
  • \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica);
  • \mathcal{C}=\{(1,1),(-1,1)\}.
O que é pedido: determinar a matriz de mudança de base M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}, ou seja, a matriz que transforma coordenadas de um vetor na base \mathcal{C} para coordenadas desse mesmo vetor na base \mathcal{B}.

Passo 2

Definição prática e fórmula que vamos usar: a matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}, denotada M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}, é a matriz cujas colunas são as coordenadas, na base \mathcal{B}, dos vetores da base \mathcal{C}. Em notação:
M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=\big[\, [c_1]_{\mathcal{B}}\\ \\ [c_2]_{\mathcal{B}}\,\big],
onde c_1 e c_2 são os vetores que compõem \mathcal{C} e [v]_{\mathcal{B}} indica o vetor coluna de coordenadas de v na base \mathcal{B}.
Observação importante e simples: como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas de um vetor em \mathcal{B} são exatamente as suas componentes usuais.

Passo 3

Pegando os vetores da base \mathcal{C} (estes dados no enunciado):
  • c_1=(1,1). Suas coordenadas na base canônica \mathcal{B} são
[c_1]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • c_2=(-1,1). Suas coordenadas na base canônica \mathcal{B} são
[c_2]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora montamos a matriz colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de \mathcal{C}:
M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação (útil para a prova): seja um vetor genérico v com coordenadas (a,b) na base \mathcal{C}, isto é,
v=a\,c_1+b\,c_2=a\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Multiplicando a matriz encontrada pelas coordenadas em \mathcal{C}:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-b\\[4pt]a+b\end{pmatrix},
que é exatamente a coordenada de v na base canônica \mathcal{B} (as componentes do vetor somadas/ subtraídas conforme a combinação linear). Isso confirma que a matriz está correta.]

Passo 6

Comentário final rápido: o determinante dessa matriz é
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot1=2\ne0,
logo a matriz é invertível (o que faz sentido, pois \mathcal{C} realmente é uma base).]

Resposta

\displaystyle M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}]