Exercício 3.1. Em
, considere as bases
(canônica) e
. Determine a matriz de mudança de base
(da base
para a base
).
Passo 1
O enunciado dá em
duas bases:
-
(base canônica); -
.
O que é pedido: determinar a matriz de mudança de base
, ou seja, a matriz que transforma coordenadas de um vetor na base
para coordenadas desse mesmo vetor na base
.
Passo 2
Definição prática e fórmula que vamos usar: a matriz de mudança de base de
para
, denotada
, é a matriz cujas colunas são as coordenadas, na base
, dos vetores da base
. Em notação:
onde
e
são os vetores que compõem
e
indica o vetor coluna de coordenadas de
na base
.
Observação importante e simples: como
é a base canônica, as coordenadas de um vetor em
são exatamente as suas componentes usuais.
Passo 3
Pegando os vetores da base
(estes dados no enunciado):
-
. Suas coordenadas na base canônica são
-
. Suas coordenadas na base canônica são
Passo 4
Agora montamos a matriz colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de
:
Passo 5
Verificação (útil para a prova): seja um vetor genérico
com coordenadas
na base
, isto é,
Multiplicando a matriz encontrada pelas coordenadas em
:
que é exatamente a coordenada de
na base canônica
(as componentes do vetor somadas/ subtraídas conforme a combinação linear). Isso confirma que a matriz está correta.]
Passo 6
Comentário final rápido: o determinante dessa matriz é
logo a matriz é invertível (o que faz sentido, pois
realmente é uma base).]