Exercício 2: Mostre que
c_{n}=\frac{n}{e^{n}} é decrescente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle c_{n}=\frac{n}{e^{n}} (para n\in\mathbb{N}, n\ge1) e pede para mostrarmos que ela é decrescente.
Informações relevantes que temos: o termo geral \displaystyle c_{n}=\frac{n}{e^{n}} e que e é a base dos logaritmos naturais (um número real fixo aproximadamente 2{,}71828\ldots).
A pergunta específica é: provar que, para todo n\ge1, vale \displaystyle c_{n+1}<c_n (decrescente estritamente).

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada sem jargão): dizer que a sequência \{c_n\} é decrescente estritamente significa que cada termo seguinte é menor que o anterior, ou seja, para todo n\ge1,
c_{n+1}<c_n.
Uma maneira muito prática de testar isso é calcular a razão entre termos consecutivos \displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_n}. Se essa razão for sempre menor que 1, então c_{n+1}<c_n e a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos e explicar passo a passo a álgebra:
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\displaystyle\frac{n+1}{e^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{n}{e^{\,n}}}.
Para dividir duas frações, multiplicamos pela recíproca da segunda:
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{n+1}{e^{\,n+1}}\cdot\frac{e^{\,n}}{n}.
Agora simplificamos e^{\,n} com e^{\,n+1} e n com n+1:
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{n+1}{n}\cdot \frac{e^{\,n}}{e^{\,n+1}} = \frac{n+1}{n}\cdot e^{-1}.
Escrevendo de forma mais clara:
\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{e}.

Passo 4

Agora precisamos mostrar que essa razão é menor que 1, isto é,
\frac{1+\dfrac{1}{n}}{e}<1.
Isso equivale a
1+\frac{1}{n}<e.
Vamos comparar os dois lados. Para n\ge1 temos
1+\frac{1}{n}\le 1+1=2.
Então basta ver que 2<e. Para justificar que e>2 (e até mostrar que é maior que 2{,}5), usamos a expansão conhecida
e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots.
Tomando só os três primeiros termos já obtemos
e>1+1+\frac{1}{2}=2{,}5.
Portanto e>2{,}5>2, e assim para todo n\ge1 vale
1+\frac{1}{n}\le 2 < e.
Logo
\frac{1+\dfrac{1}{n}}{e}<1,
ou seja,
\frac{c_{n+1}}{c_n}<1.
Isto implica c_{n+1}<c_n para todo n\ge1. Portanto a sequência é estritamente decrescente.

Passo 5

Para fixar a ideia, um cheque numérico rápido:
c_1=\frac{1}{e}\approx 0{,}3679,\qquad c_2=\frac{2}{e^2}\approx 0{,}2707,\qquad c_3=\frac{3}{e^3}\approx 0{,}1494,
que mostram os termos efetivamente caindo.
Observação alternativa (opcional): considerar a função f(x)=x e^{-x}. Calculando a derivada,
f'(x)=e^{-x}(1-x),
vemos que f'(x)\le 0 para x\ge1, então f é decrescente em [1,\infty). Como c_n=f(n), os valores da função nos inteiros formam uma sequência decrescente. Essa é outra forma, via cálculo, de obter o mesmo resultado.

Resposta

A sequência \displaystyle c_{n}=\frac{n}{e^{n}} é estritamente decrescente para todo n\ge1.

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