A Óleos Unidos S.A. é uma empresa do ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais com base na mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somada à quantidade de litros de solvente utilizada para a fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir:
Combustível
A
B
C
Extrato mineral
8 litros
5 litros
4 litros
Solvente
1 litro
4 litros
12 litros
Disponíveis 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente. Lucros líquidos: \mathrm{R} \ 20,00(\mathrm{~A}), \mathrm{R} $22,00(\mathrm{~B}), \mathrm{R} $ 18,00(\mathrm{C})$.
(1) Estabeleça um modelo de programação linear que determine a quantidade de cada combustível a ser fabricada, dadas as restrições de matéria-prima.
(2) Quanto de cada produto deve ser manufaturado para maximizar o lucro da companhia? De quanto é esse lucro? (Resolva pelo método simplex tabular).
Passo 1
O enunciado dá: três combustíveis (A, B, C) produzidos por mistura de extrato mineral e solvente, sem perdas. As proporções (tiradas da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{l c c c} & \text{A} & \text{B} & \text{C}\\[4pt] \text{Extrato mineral (L)} & 8 & 5 & 4\\[4pt] \text{Solvente (L)} & 1 & 4 & 12 \end{array}
Estão disponíveis \,120 litros de extrato mineral e \,200 litros de solvente. Lucros líquidos por litro: \,20{,}00 (A), \,22{,}00 (B), \,18{,}00 (C).
O que o problema pede:
Formular o modelo de programação linear (variáveis, função objetivo e restrições).
Determinar quanto fabricar de cada produto para maximizar o lucro e qual é esse lucro, usando o método simplex tabular.
Informações relevantes extraídas do enunciado: disponibilidades (\,120 e \,200), coeficientes de mistura (tabela acima), e lucros por litro.]
Passo 2
Definimos as variáveis de decisão (quantidades em litros a produzir):
x_A,\;x_B,\;x_C \ge 0,
onde \,x_A é litros de A, \,x_B litros de B e \,x_C litros de C.
A função objetivo (maximizar lucro total) é:
\text{Maximizar } Z = 20\,x_A + 22\,x_B + 18\,x_C.
As restrições de matéria-prima (cada mistura consome as quantidades da tabela) são:
8\,x_A + 5\,x_B + 4\,x_C \le 120
1\,x_A + 4\,x_B + 12\,x_C \le 200
x_A,\,x_B,\,x_C \ge 0.
Esse é o modelo de programação linear pedido no item (1).
Passo 3
Para aplicar o método simplex tabular transformamos as desigualdades em equações adicionando variáveis folga (slack) \,s_1 e \,s_2 (ambas \ge 0):
8x_A+5x_B+4x_C+s_1=120,
x_A+4x_B+12x_C+s_2=200.
A solução inicial básica toma \,x_A=x_B=x_C=0 e s_1=120,\;s_2=200.
Montamos o tableau inicial (colunas: x_A,x_B,x_C,s_1,s_2; RHS = termo independente):
A linha inferior é a equação Z-20x_A-22x_B-18x_C=0. No simplex para maximização, colunas com coeficientes negativos nessa linha indicam variáveis candidatas a entrar na base (podem aumentar Z).
Passo 4
Primeira iteração: escolha da variável a entrar e da que sai.
Na linha Z os coeficientes são -20,\,-22,\,-18. O mais negativo é -22 (correspondente a x_B), então escolhemos x_B para entrar na base.
Razões (RHS / coeficiente positivo da coluna x_B):\frac{120}{5}=24,\qquad \frac{200}{4}=50.A menor razão é 24, então a primeira restrição determina quem sai: sai s_1. Pivotamos na posição (linha 1, coluna x_B), ou seja, normalizamos a linha 1 dividindo por 5 e eliminamos a coluna de x_B nas outras linhas.
Segunda iteração: verificar linha Z para coeficientes negativos. Há -\frac{2}{5} na coluna x_C, então x_C entra na base.
Razões (somente para linhas com coeficiente positivo em x_C):
Na linha Z não existem coeficientes negativos nas colunas de x_A,x_B,x_C. Pelo critério do simplex (nenhuma coluna com custo reduzido negativo), alcançamos a solução ótima.
Passo 6
Lendo a solução ótima a partir do tableau final (tomando variáveis não-básicas igual a zero):
Variáveis básicas são x_B (linha 1) e x_C (linha 2). As equações das linhas ditam seus valores quando as não-básicas (x_A,s_1,s_2) são zero.x_B=\frac{160}{11}\approx 14{,}545\\ \text{litros}, \qquad x_C=\frac{130}{11}\approx 11{,}818\\ \text{litros}.
x_A=0\\ \text{litros}.
Verificação rápida (usar as restrições originais):8\cdot 0+5\cdot\frac{160}{11}+4\cdot\frac{130}{11} =\frac{800+520}{11}=\frac{1320}{11}=120,
Boa! Conseguimos a solução ótima com simplex tabular: produzir somente B e C nas quantidades acima, usando todos os insumos, e obtendo o lucro máximo calculado.