Exercício 8

A Óleos Unidos S.A. é uma empresa do ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais com base na mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somada à quantidade de litros de solvente utilizada para a fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir:
Combustível A B C
Extrato mineral 8 litros 5 litros 4 litros
Solvente 1 litro 4 litros 12 litros
Disponíveis 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente. Lucros líquidos: \mathrm{R} \ 20,00(\mathrm{~A}), \mathrm{R} $22,00(\mathrm{~B}), \mathrm{R} $ 18,00(\mathrm{C})$.
(1) Estabeleça um modelo de programação linear que determine a quantidade de cada combustível a ser fabricada, dadas as restrições de matéria-prima.
(2) Quanto de cada produto deve ser manufaturado para maximizar o lucro da companhia? De quanto é esse lucro? (Resolva pelo método simplex tabular).

Passo 1

O enunciado dá: três combustíveis (A, B, C) produzidos por mistura de extrato mineral e solvente, sem perdas. As proporções (tiradas da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{l c c c} & \text{A} & \text{B} & \text{C}\\[4pt] \text{Extrato mineral (L)} & 8 & 5 & 4\\[4pt] \text{Solvente (L)} & 1 & 4 & 12 \end{array}
Estão disponíveis \,120 litros de extrato mineral e \,200 litros de solvente. Lucros líquidos por litro: \,20{,}00 (A), \,22{,}00 (B), \,18{,}00 (C).
O que o problema pede:
  1. Formular o modelo de programação linear (variáveis, função objetivo e restrições).
  2. Determinar quanto fabricar de cada produto para maximizar o lucro e qual é esse lucro, usando o método simplex tabular.
Informações relevantes extraídas do enunciado: disponibilidades ( \,120 e \,200), coeficientes de mistura (tabela acima), e lucros por litro.]

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão (quantidades em litros a produzir):
x_A,\;x_B,\;x_C \ge 0,
onde \,x_A é litros de A, \,x_B litros de B e \,x_C litros de C.
A função objetivo (maximizar lucro total) é:
\text{Maximizar } Z = 20\,x_A + 22\,x_B + 18\,x_C.
As restrições de matéria-prima (cada mistura consome as quantidades da tabela) são:
8\,x_A + 5\,x_B + 4\,x_C \le 120
1\,x_A + 4\,x_B + 12\,x_C \le 200
x_A,\,x_B,\,x_C \ge 0.
Esse é o modelo de programação linear pedido no item (1).

Passo 3

Para aplicar o método simplex tabular transformamos as desigualdades em equações adicionando variáveis folga (slack) \,s_1 e \,s_2 (ambas \ge 0):
8x_A+5x_B+4x_C+s_1=120,
x_A+4x_B+12x_C+s_2=200.
A solução inicial básica toma \,x_A=x_B=x_C=0 e s_1=120,\;s_2=200.
Montamos o tableau inicial (colunas: x_A,x_B,x_C,s_1,s_2; RHS = termo independente):
\begin{array}{r r r r r | r} x_A & x_B & x_C & s_1 & s_2 & \text{RHS}\\hline 8 & 5 & 4 & 1 & 0 & 120\\\\ 1 & 4 & 12 & 0 & 1 & 200\\hline -20 & -22 & -18 & 0 & 0 & 0 \end{array}
A linha inferior é a equação Z-20x_A-22x_B-18x_C=0. No simplex para maximização, colunas com coeficientes negativos nessa linha indicam variáveis candidatas a entrar na base (podem aumentar Z).

Passo 4

Primeira iteração: escolha da variável a entrar e da que sai.
  • Na linha Z os coeficientes são -20,\,-22,\,-18. O mais negativo é -22 (correspondente a x_B), então escolhemos x_B para entrar na base.
  • Razões (RHS / coeficiente positivo da coluna x_B): \frac{120}{5}=24,\qquad \frac{200}{4}=50.A menor razão é 24, então a primeira restrição determina quem sai: sai s_1. Pivotamos na posição (linha 1, coluna x_B), ou seja, normalizamos a linha 1 dividindo por 5 e eliminamos a coluna de x_B nas outras linhas.
Normalizando linha 1 por 5:
\text{linha1}'\;:\;\left(\frac{8}{5},\;1,\;\frac{4}{5},\;\frac{1}{5},\;0\;\Big|\;24\right).
Eliminando a coluna x_B nas outras linhas:
  • Nova linha 2 = linha 2 - 4 vezes linha1’:
\left(1-\frac{32}{5},\;0,\;12-\frac{16}{5},\;0-\frac{4}{5},\;1\;\Big|\;200-96\right) = \left(-\frac{27}{5},\;0,\;\frac{44}{5},\;-\frac{4}{5},\;1\;\Big|\;104\right).
  • Nova linha Z = linha Z + 22 vezes linha1’ (para eliminar o -22):
\left(-20+\frac{176}{5},\;0,\;-18+\frac{88}{5},\;\frac{22}{5},\;0\;\Big|\;22\cdot24\right) = \left(\frac{76}{5},\;0,\;-\frac{2}{5},\;\frac{22}{5},\;0\;\Big|\;528\right).
O tableau após a primeira iteração fica (escrito por linhas básicas: x_B é básica na linha 1, s_2 ainda básica na linha 2):
\begin{array}{r r r r r | r} x_A & x_B & x_C & s_1 & s_2 & \text{RHS}\\hline \frac{8}{5} & 1 & \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 24\\\\ -\frac{27}{5} & 0 & \frac{44}{5} & -\frac{4}{5} & 1 & 104\\hline \frac{76}{5} & 0 & -\frac{2}{5} & \frac{22}{5} & 0 & 528 \end{array}

Passo 5

Segunda iteração: verificar linha Z para coeficientes negativos. Há -\frac{2}{5} na coluna x_C, então x_C entra na base.
Razões (somente para linhas com coeficiente positivo em x_C):
\text{linha 1: }\frac{24}{4/5}=24\cdot\frac{5}{4}=30, \qquad \text{linha 2: }\frac{104}{44/5}=104\cdot\frac{5}{44}=\frac{520}{44}=\frac{130}{11}\approx 11{,}818.
A menor razão é \frac{130}{11}, então na linha 2 o s_2 sai e x_C entra. Pivotamos na linha 2, coluna x_C (elemento pivô \frac{44}{5}).
Normalizando a linha 2 por \frac{44}{5} (ou multiplicando por \frac{5}{44}):
\text{linha2}'\;:\;\left(-\frac{27}{44},\;0,\;1,\;-\frac{1}{11},\;\frac{5}{44}\;\Big|\;\frac{130}{11}\right).
Eliminamos a coluna x_C nas outras linhas:
  • Nova linha 1 = linha1 - \frac{4}{5} vezes linha2’:
\begin{aligned} x_A: &\\ \frac{8}{5} - \frac{4}{5}\left(-\frac{27}{44}\right) = \frac{8}{5}+\frac{27}{55}=\frac{23}{11},\\\ x_B: &\\\ 1 - \frac{4}{5}\cdot 0 =1,\\\ s_1: &\\ \frac{1}{5}-\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{11}\right)=\frac{3}{11},\\\ s_2: &\\\ 0-\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{44}=-\frac{1}{11},\\\ \text{RHS: } &\\\ 24-\frac{4}{5}\cdot\frac{130}{11}=\frac{160}{11}. \end{aligned}
  • Nova linha Z = linha Z - \left(-\frac{2}{5}\right) vezes linha2’ = linha Z + \frac{2}{5} linha2’:
\begin{aligned} x_A: &\\ \frac{76}{5}+\frac{2}{5}\left(-\frac{27}{44}\right)=\frac{329}{22},\\\ x_B: &\\\ 0+\frac{2}{5}\cdot 0 =0,\\\ s_1: &\\ \frac{22}{5}+\frac{2}{5}\left(-\frac{1}{11}\right)=\frac{48}{11},\\\ s_2: &\\\ 0+\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{44}=\frac{1}{22},\\\ \text{RHS: } &\\\ 528+\frac{2}{5}\cdot\frac{130}{11}=\frac{5860}{11}. \end{aligned}
O tableau final fica:
\begin{array}{r r r r r | r} x_A & x_B & x_C & s_1 & s_2 & \text{RHS}\\hline \frac{23}{11} & 1 & 0 & \frac{3}{11} & -\frac{1}{11} & \frac{160}{11}\\\\ -\frac{27}{44} & 0 & 1 & -\frac{1}{11} & \frac{5}{44} & \frac{130}{11}\\hline \frac{329}{22} & 0 & 0 & \frac{48}{11} & \frac{1}{22} & \frac{5860}{11} \end{array}
Na linha Z não existem coeficientes negativos nas colunas de x_A,x_B,x_C. Pelo critério do simplex (nenhuma coluna com custo reduzido negativo), alcançamos a solução ótima.

Passo 6

Lendo a solução ótima a partir do tableau final (tomando variáveis não-básicas igual a zero):
  • Variáveis básicas são x_B (linha 1) e x_C (linha 2). As equações das linhas ditam seus valores quando as não-básicas ( x_A,s_1,s_2) são zero. x_B=\frac{160}{11}\approx 14{,}545\\ \text{litros}, \qquad x_C=\frac{130}{11}\approx 11{,}818\\ \text{litros}.
x_A=0\\ \text{litros}.
  • Verificação rápida (usar as restrições originais): 8\cdot 0+5\cdot\frac{160}{11}+4\cdot\frac{130}{11} =\frac{800+520}{11}=\frac{1320}{11}=120,
1\cdot 0+4\cdot\frac{160}{11}+12\cdot\frac{130}{11} =\frac{640+1560}{11}=\frac{2200}{11}=200.
Ambas as restrições ficam exatamente satisfeitas (ambas vinculantes), ou seja, todo o extrato mineral e todo o solvente são usados.
  • Lucro máximo: Z_{\max}=20\cdot 0 +22\cdot\frac{160}{11}+18\cdot\frac{130}{11}=\frac{5860}{11}\approx 532{,}73\\ \text{R\$}.
Boa! Conseguimos a solução ótima com simplex tabular: produzir somente B e C nas quantidades acima, usando todos os insumos, e obtendo o lucro máximo calculado.

Resposta

\text{Modelo: Max }Z=20x_A+22x_B+18x_C
\text{s.a. }8x_A+5x_B+4x_C\le 120,\quad x_A+4x_B+12x_C\le 200,\quad x_A,x_B,x_C\ge 0
x_A=0,\quad x_B=\frac{160}{11}\approx 14{,}545\\ \text{L},\quad x_C=\frac{130}{11}\approx 11{,}818\\ \text{L}
Z_{\max}=\frac{5860}{11}\approx 532{,}73\\ \text{R\$}

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