1. Exercício 1.9 - Um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos com ângulo de pressão de 25^circ transmite uma potência de 20000 W. Para uma combinação de 17 e 40 dentes, um módulo de 5 mm e o pinhão girando a 900 rpm, determine os esforços atuantes nos dentes do pinhão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um par de engrenagens cilíndricas com dentes retos e um ângulo de pressão de 25 graus. A potência que está sendo transmitida é de 20.000 W. As engrenagens têm 17 e 40 dentes, um módulo de 5 mm e o pinhão está girando a 900 rpm. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os esforços que atuam nos dentes do pinhão. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de transmissão de potência em engrenagens, como torque, velocidade angular e as forças envolvidas nos dentes das engrenagens.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do pinhão de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo, que é a unidade padrão para cálculos de torque e potência. A fórmula para essa conversão é:
omega = 2pi times n60
Onde:
  • $ n $ é a velocidade em rpm.
  • $ \omega $ é a velocidade angular em rad/s.
Vamos calcular:
n

Passo 3

Agora, vamos calcular o torque transmitido pelo pinhão. Sabemos que a potência $ P $ está relacionada ao torque $ T $ e à velocidade angular $ \omega $ pela fórmula:
P
Rearranjando para encontrar o torque:
T
Substituindo os valores:
omega

Passo 4

Vamos determinar o diâmetro de passo do pinhão. O módulo $ m $ está relacionado ao diâmetro de passo $ d $ e ao número de dentes $ z $ pela fórmula:
m
Para o pinhão com 17 dentes:
d

Passo 5

O raio do pinhão $ r_1 $ é metade do diâmetro de passo:
r1

Passo 6

Agora, vamos calcular a força tangencial $ F_t $ atuando nos dentes do pinhão. A relação entre torque e força tangencial é dada por:
Ft
Rearranjando para encontrar $ F_t $:
T = Ft times r1
Substituindo os valores:
Ft

Passo 7

Além da força tangencial, existe a força radial $ F_r $ que está relacionada com a força tangencial e o ângulo de pressão $ \phi $ pela fórmula:
Fr
Com $ \phi = 25^\circ $:
phi

Passo 8

Por fim, podemos calcular a força resultante $ F $ que atua nos dentes do pinhão usando o teorema de Pitágoras, já que $ F_t $ e $ F_r $ são perpendiculares:
F
Substituindo os valores:
Ft

Resposta

Os esforços atuantes nos dentes do pinhão são:
  • Força tangencial $ F_t \approx 4988 , N $,
  • Força radial $ F_r \approx 2325 , N $,
  • Força resultante $ F \approx 5504 , N $.

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