Exercício 4

Os parâmetros de um motor de indução são: 2000 \mathrm{hp}, 2300 \mathrm{~V}, trifásico, conectado em estrela, quatro polos, 60 Hz , escorregamento a plena carga =0,03746, R_{s}=0,02 \Omega, R_{r}^{\prime}=0,12 \Omega, R_{m}=45 \Omega, X_{m}=50 \Omega, X_{s}=X_{r}^{\prime}=0,32 \Omega. Determine (a) a eficiência de um motor de indução operando a plena carga e (b) a capacitância por fase necessária para obter um fator de potência da rede unitário através da instalação de capacitores nos terminais de entrada do motor de indução.

Passo 1

O enunciado trata de um motor de indução trifásico, estrela, quatro polos, 60 Hz, com dados elétricos:
P_\text{out}=2000,hp
V_\text{LL}=2300,V
s=0{,}03746
R_s=0{,}02, \Omega, X_s=0{,}32, \Omega
R'_r=0{,}12, \Omega, X'_r=0{,}32, \Omega
R_m=45, \Omega, X_m=50, \Omega
Pede (a) a eficiência a plena carga e (b) a capacitância por fase para fator de potência unitário. Para isso vamos montar o circuito equivalente por fase, calcular correntes e perdas (cobre do estator, cobre do rotor, núcleo), achar P_\text{in} e \eta, depois achar a reatância capacitiva para zerar a componente reativa da corrente de entrada.

Passo 2

Calcular a impedância por fase do enrolamento de magnetização, Z_m:
\frac1{Z_m}=\frac1{R_m}-j\frac1{X_m} =\frac1{45}-j\frac1{50} =0{,}022222-j0{,}02
Z_m=\frac{1}{0{,}022222-j0{,}02} \approx24{,}87 + j22{,}38\\ \Omega
A impedância do rotor referida por fase é
Z_r=\frac{R'_r}{s}+jX'_r =\frac{0{,}12}{0{,}03746}+j0{,}32 \approx3{,}204 + j0{,}32\\ \Omega
Em paralelo ficam Z_m\parallel Z_r; chamamos isso de Z_{par}. Fazendo
Z_{par} =\frac{Z_m\,Z_r}{Z_m+Z_r} \approx2{,}95 + j0{,}452\\ \Omega.
Somando com o estator, Z_s=R_s+jX_s=0{,}02+j0{,}32, vem a impedância total por fase
Z_{eq}=Z_s+Z_{par} \approx2{,}97 + j0{,}772\\ \Omega, \quad |Z_{eq}|\approx3{,}07\\ \Omega, \quad \varphi\approx14{,}6^\circ.
O módulo da tensão de fase é
V_\varphi=\frac{V_{LL}}{\sqrt3} = \frac{2300}{\sqrt3} \approx1327\\ \text{V},
logo a corrente de entrada por fase é
I_1 =\frac{V_\varphi}{Z_{eq}} \approx\frac{1327}{3{,}07}\angle(-14{,}6^\circ) \approx432{,}6\\ \text{A (módulo)}.ó

Passo 3

Agora as perdas:
  1. Perda ôhmica do estator
P_{cu,s} =3\,I_1^2\,R_s =3\cdot(432{,}6)^2\cdot0{,}02 \approx11\,228\\ \text{W}.
  1. Perda ôhmica do rotor (referida)
    Primeiro achamos a corrente no ramo do rotor: a tensão no paralelo é
V_{par}=I_1\;Z_{par} \approx1327\cdot\frac{2{,}95+j0{,}452}{2{,}97+j0{,}772} \approx1296\angle(-5{,}9^\circ)\,\text{V}.
Então
I_r=\frac{V_{par}}{Z_r} \approx\frac{1296}{|3{,}204+j0{,}32|} \approx402{,}5\\ \text{A}.
A perda ôhmica do rotor é
P_{cu,r} =3\,I_r^2\,R'_r =3\cdot(402{,}5)^2\cdot0{,}12 \approx58\,324\\ \text{W}.
  1. Perda no núcleo (magnetização)
P_{core} =3\frac{V_\varphi^2}{R_m} =3\frac{(1327)^2}{45} \approx117\,398\\ \text{W}.
  1. Potência de saída mecânica
P_{out} =2000\\ \text{hp}\times746\\ \frac{\text{W}}{\text{hp}} =1\,492\,000\\ \text{W}.
A potência de entrada é a soma
P_{in} =P_{out}+P_{cu,s}+P_{cu,r}+P_{core} \approx1\,492\,000+11\,228+58\,324+117\,398 \approx1\,678\,950\\ \text{W}.
Logo a eficiência é
\eta =\frac{P_{out}}{P_{in}} \approx\frac{1\,492\,000}{1\,678\,950} \approx0{,}889\quad(88{,}9\%).

Passo 4

Para correção ao fator de potência unitário precisamos anular a potência reativa absorvida. A reativa de entrada é
Q_{in} =3\,V_\varphi\,I_1\,\sin\varphi =3\cdot1327\cdot432{,}6\cdot\sin(14{,}6^\circ) \approx434{,}000\\ \text{var}.
Cada fase deve suprir \tfrac{Q_{in}}3\approx144\,667,var. A capacitância por fase satisfaz
Q_\text{c,ph} =V_\varphi^2\,\omega\,C \;\Longrightarrow\; C =\frac{Q_\text{c,ph}}{V_\varphi^2\,\omega} =\frac{144\,667}{(1327)^2\,(2\pi\cdot60)} \approx2,18\times10^{-4}\,\text{F} =218\\ \mu\text{F}.

Resposta

(a) \displaystyle \eta\approx88{,}9\%.
(b) \displaystyle C_{\text{fase}}\approx218\\ \mu\text{F}.

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