1. No exercício precedente, suponha que f satisfaça f^{\prime}(x)=-2 x f(x). Mostre que existe uma constante C tal que f(x)=C e^{-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
f'(x) = -2x\,f(x),
mostrando que toda solução pode ser escrita como
f(x) = C\,e^{-x^2}
para alguma constante C. Vamos usar o método de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Sempre que tivermos uma equação na forma f'(x)=g(x)\,f(x), podemos dividir por f(x) (assumindo f(x)\neq0) e escrever
\frac{f'(x)}{f(x)} = -2x.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \int -2x\,dx.
Pela regra da derivada de logaritmo, o lado esquerdo vira \ln\bigl|f(x)\bigr|. No lado direito,
\int -2x\,dx = -x^2 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 4

Portanto obtemos
\ln\bigl|f(x)\bigr| = -x^2 + K.
Exponenciando ambos os lados dá
\bigl|f(x)\bigr| = e^{-x^2 + K} = e^{K}\,e^{-x^2}.
Chamando C = \pm e^{K}, que é uma constante arbitrária (podendo ser zero), chegamos a
f(x) = C\,e^{-x^2}.

Resposta

f(x) = C\,e^{-x^2},
onde C é constante.

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