- No exercício precedente, suponha que
satisfaça
. Mostre que existe uma constante
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
mostrando que toda solução pode ser escrita como
para alguma constante
. Vamos usar o método de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Sempre que tivermos uma equação na forma
, podemos dividir por
(assumindo
) e escrever
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Pela regra da derivada de logaritmo, o lado esquerdo vira
. No lado direito,
onde
é constante de integração.
Passo 4
Portanto obtemos
Exponenciando ambos os lados dá
Chamando
, que é uma constante arbitrária (podendo ser zero), chegamos a
Resposta
onde
é constante.