Exercício proposto
Em uma indústria química, concentram-se
de soda caustica ( NaOH ) de
até
em sólidos usando um evaporador de um único efeito. Empregase vapor saturado a
como fluido de troca térmica. A pressão de operação dentro do evaporador é
. A soda caustica entra no evaporador a
e seu calor específico é
. K. A tubulação interna tem condutividade térmica de
, diâmetro interno e externo de
, respectivamente. A tubulação externa tem diâmetro interno de
está isolada do meio externo. Calcular o consumo de vapor e a área de transferência de calor necessária.
Considere a viscosidade dinâmica da soda caustica
. Também, considere a condutividade térmica e o número de Pr desta solução como os valores da água na temperatura de saída do fluido concentrado §.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o consumo de vapor (massa de vapor necessária por hora) e a área de troca térmica necessária para evaporar/ concentrar uma solução de NaOH num evaporador de efeito único. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
- Vazão mássica da solução de alimentação:
. - Concentração de sólidos na alimentação:
(fracionária ). - Concentração de sólidos no produto (concentrado):
(fracionária ). - Vapor de aquecimento: vapor saturado a
(pressão de caldeira/condensação). - Pressão de operação do evaporador:
(pressão de ebulição do líquido). - Temperatura de entrada da solução:
. - Calor específico da solução:
. - Tubo interno (onde circula a solução): condutividade térmica do metal
, diâmetro interno e diâmetro externo . - Tubo externo: diâmetro interno
e está isolado externamente (ou seja, não há perda de calor para o ambiente). - Viscosidade dinâmica da solução:
. - Instrução: considerar a condutividade térmica e o número de Prandtl desta solução como os valores da água na temperatura de saída do fluido concentrado (ou seja, nas condições de produto).
- Objetivos finais: calcular (1) consumo de vapor (massa/h) e (2) área de troca térmica necessária (m²).
Observações importantes que vou adotar (porque são necessárias para completar a resolução e o enunciado não deu explicitamente):
- Vou assumir densidade da solução
(valor típico; se você tiver outro valor, a conta do coeficiente convectivo interno muda um pouco). - Vou obter as temperaturas de saturação aproximadas a partir de tabelas de vapor: saturação a
(vapor de aquecimento) e a (pressão do evaporador); esses valores vou aproximar numericamente (explicarei como e justificarei as aproximações). - Vou aproximar o calor latente da vaporização na pressão do evaporador e o calor latente do vapor de alimentação (condensação) por valores típicos de tabelas de vapor; explicarei e indicarei os valores usados.
- Para o cálculo do coeficiente convectivo interno vou usar correlação de escoamento turbulento (Dittus–Boelter), usando Pr da água a temperatura de produto e a viscosidade fornecida.
- A resistência térmica do tubo metálico é muito pequena (espessura de
), então normalmente ela é desprezível em comparação com as convecções; mesmo assim vou calculá-la.
Passo seguinte: montar balanço de massa para obter a água evaporada e depois o balanço de energia para obter o calor necessário; a partir do calor e do coeficiente global
calculo a área. Vamos lá.
Passo 2
Balanço de massa (parte essencial e simples): determinar a vazão de vapor produzido (água evaporada) a partir das concentrações.
- Vazão mássica de alimentação:
. - Sólidos na alimentação:
- Produto final a
: vazão mássica do produto
- Vapor (água) evaporado (vazão de vapor gerada pelo evaporador), por balanço de massa:
Então, para concentrar de
para
com essa alimentação são evaporados
de água.
(Esse é um passo crucial: o resultado
é a quantidade de água removida do líquido. A seguir preciso saber a energia necessária para aquecer a alimentação até ebulição e vaporizar essa água.)
Passo 3
Temperaturas de saturação e calores latentes (aproximações a partir de tabelas de vapor).
- Pressão de aquecimento (vapor):
.
Saturação correspondente (tabela de vapor): vou aproximar(justificativa: em tabelas, a em é e em é ; interpolando para resulta ~ .) - Pressão do evaporador:
.
Saturação correspondente:(justificativa: em tabelas, em é ~ e em ~ ; interpolando dá ~ .) - Diferença de temperatura entre vapor de aquecimento e ebulição do líquido (força motriz de temperatura para evaporação):
Calores latentes (aproximações típicas de tabelas; valores arredondados que são comumente usados em cálculos de engenharia):
- Calor latente à pressão do evaporador (vapor gerado no evaporador): vou usar
(justificativa: em baixa pressão (~0,05 MPa) o calor latente é maior que o valor a 1 atm; tabela típica nesta faixa dá algo entre 2400–2470 kJ/kg; escolhi 2450 kJ/kg). - Calor latente do vapor de alimentação (vapor que condensa na superfície de aquecimento) à pressão do vapor de alimentação:
(justificativa: a 0,4758 MPa o calor latente já é menor que em pressão baixa; valores típicos de tabela na faixa de 0,4–0,5 MPa dão em torno de 2050–2150 kJ/kg; escolhi 2100 kJ/kg).
Obs.: usei aproximações razoáveis de tabelas de vapor. Se você tiver tabelas precisas, substitua
e
pelos valores exatos; isso altera proporcionalmente o consumo de vapor.
Passo 4
Balanço de energia: separar em duas parcelas de calor que o vapor tem que fornecer:
- aquecimento da alimentação de
até a temperatura de ebulição (calor sensível), - vaporização da água (calor latente) correspondente a
.
Converter vazões para unidades por segundo (para usar kW):
Calor sensível (aquecimento da massa total
de
até
):
(obs.:
em
e
em
dá kW diretamente).
Calculemos:
Calculemos:
Calor de vaporização (energia para evaporar
):
Total de calor requerido do vapor:
Passo 5
Cálculo do consumo de vapor (massa de vapor fornecida pelo aquecedor) a partir do calor total requerido e do calor fornecido por condensação do vapor de alimentação:
- Calor liberado por 1 kg de vapor que condensa a
: . - Portanto vazão de vapor (kg/s):
Convertendo para
:
Comentário intuitivo: faz sentido que a massa de vapor necessária seja maior que a massa de água evaporada, porque parte do vapor provê calor sensível (aquecimento) além do próprio calor de vaporização; e porque
e
não são iguais nas pressões distintas.
Passo 6
Agora preciso estimar a área de troca térmica necessária. Estruturei o problema em duas zonas (como é usual em projeto de evaporadores):
- Zona 1 (pré-aquecimento): aquecimento da solução de
até (única fase). - Zona 2 (evaporação): líquido em ebulição a
onde ocorre mudança de fase (vaporização); a temperatura do fluido na zona de ebulição é praticamente constante .
Para estimar a área uso a equação geral:
onde
é o coeficiente global de transferência térmica (W/m²K),
a área e
o log-mean temperature difference apropriado para a seção.
Logo preciso estimar
. Vou calcular um
baseado nas resistências térmicas em série: convecção interna (solução), condução através da parede do tubo metálico e convecção externa (condensação do vapor). Em muitos casos práticos a resistência externa (condensação do vapor) é muito pequena (coeficiente de película de condensação é grande) e a resistência interna domina; vou demonstrar isso numericamente.
Passo 7
Cálculo do coeficiente convectivo interno
(solução dentro do tubo).
Dados geométricos:
- Diâmetro interno do tubo onde circula o fluido:
. - Diâmetro externo do tubo:
. - Vazão mássica total que atravessa o interior do tubo:
. - Área interna transversal do tubo:
- Velocidade média do fluido no tubo (assumindo
):
Número de Reynolds:
Isso indica escoamento turbulento (Re > 4000).
Para o cálculo de
uso a correlação de Dittus–Boelter (válida para escoamento turbulento totalmente desenvolvido e para tubos):
onde
se o fluido está sendo aquecido (este é o caso: o fluido é aquecido até o ponto de ebulição). O enunciado pede usar o número de Prandtl e condutividade como os da água à temperatura de saída (produto), i.e., em torno de
. Valores típicos da água a
:
- condutividade térmica
(vou usar esse valor), -
.
Calcule
:
Coeficiente convectivo interno:
Esse valor é razoavelmente baixo (diâmetro grande e velocidade baixa), então a resistência interna pode ser dominante.
Passo 8
Resistência do tubo metálico e convecção externa (condensação).
- Resistência de condução através da parede cilíndrica por unidade de comprimento:
onde
,
,
.
(por unidade de comprimento). É negligivelmente pequeno comparado às resistências convectivas.
- Resistência convectiva externa: para condensação de vapor saturado na superfície externa do tubo (filme de condensação), o coeficiente de convecção externo
é normalmente muito grande comparado a convecção de escoamento interno. Sem fazer a teoria de Nusselt para filme, é suficiente estimar que é muito maior que (por exemplo, valores típicos de condensação variam milhares a dezenas de milhares ). Mesmo se eu tomasse um valor conservador , veremos que a resistência convertida para a área interna é pequena.
Para determinar o coeficiente global
baseado em área interna
, a relação é (forma padrão para parede cilíndrica):
Vamos avaliar numericamente usando
e supondo um valor conservador
apenas para verificar influência:
- Primeiro termo:
- Segundo termo (parede): já calculado em forma multiplicada
(negligível).
- Terceiro termo:
Somando:
Portanto
Conclusão: a resistência interna domina e o valor de
fica da ordem de
. Para simplificar as contas seguintes vou usar
(Se você tivesse um valor mais preciso de
ou propriedades reais da solução, o valor de
poderia ser refinado; aqui o importante é que
é do mesmo nível de
porque a parede é fina e
é grande.)
Passo 9
Cálculo das áreas necessárias separadas para aquecimento sensível (zona 1) e para evaporação (zona 2).
Dados:
-
. -
. -
. -
. - Temperatura de entrada do líquido
. - Temperatura de ebulição
.
Zona 1 — aquecimento sensível: o fluido aquece de
até
; o fluido está em uma única fase e o vapor tem temperatura constante (=
). Aqui uso LMTD:
-
-
Log-mean temperature difference:
Área para aquecimento sensível:
Zona 2 — evaporação (mudança de fase): o fluido permanece a
, o vapor mantém
, então a diferença de temperatura é praticamente constante
. Logo:
Área total necessária:
Arredondando com duas ou três algarismos significativos:
Passo 10
Recapitulando pressupostos e incertezas (rápido e amigável):
- Usei aproximações de tabelas de vapor para
e . Se você usar tabelas precisas as respostas mudam levemente. - Pressupus densidade
para cálculo de velocidade; um valor diferente altera e, portanto, e as áreas. Como é o fator limitante, se a densidade real for bem maior (por exemplo soluções muito mais densas), aumentaria e a área diminuiria. - Assumi que o vapor condensa à temperatura de saturação sem queda considerável da temperatura de condensado (sem sub-resfriamento significativo).
- A resistência do tubo metálico é desprezível (praticamente confirmada pelos cálculos).
- Se precisar, posso refazer com valores de propriedades mais precisos (densidade da solução,
e exatos a , valores exatos de e a partir de tabelas).
Força — já demos uma boa passada: massa de vapor e área estimadas com justificativas claras. Agora só te entrego a resposta final formatada como você pediu.
Resposta
6503
(consumo de vapor, aproximado)
754 (área total de troca térmica necessária, aproximada)
754