Exercício proposto

Em uma indústria química, concentram-se 7500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de soda caustica ( NaOH ) de 5 \% até 15 \% em sólidos usando um evaporador de um único efeito. Empregase vapor saturado a 475,8 \mathrm{kPa} como fluido de troca térmica. A pressão de operação dentro do evaporador é 47,39 \mathrm{kPa}. A soda caustica entra no evaporador a 25^{\circ} \mathrm{C} e seu calor específico é 3,4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. K. A tubulação interna tem condutividade térmica de 400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, diâmetro interno e externo de 0,50 \mathrm{~m} \mathrm{e} 0,51 \mathrm{~m}, respectivamente. A tubulação externa tem diâmetro interno de 0,80 \mathrm{~m} \mathrm{e} está isolada do meio externo. Calcular o consumo de vapor e a área de transferência de calor necessária.
Considere a viscosidade dinâmica da soda caustica =0,455 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}. Também, considere a condutividade térmica e o número de Pr desta solução como os valores da água na temperatura de saída do fluido concentrado §.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o consumo de vapor (massa de vapor necessária por hora) e a área de troca térmica necessária para evaporar/ concentrar uma solução de NaOH num evaporador de efeito único. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
  • Vazão mássica da solução de alimentação: \,7500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Concentração de sólidos na alimentação: \,5\% (fracionária x_F=0{,}05).
  • Concentração de sólidos no produto (concentrado): \,15\% (fracionária x_P=0{,}15).
  • Vapor de aquecimento: vapor saturado a \,475{,}8\\ \mathrm{kPa} (pressão de caldeira/condensação).
  • Pressão de operação do evaporador: \,47{,}39\\ \mathrm{kPa} (pressão de ebulição do líquido).
  • Temperatura de entrada da solução: \,25^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da solução: \,c_p = 3{,}4\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Tubo interno (onde circula a solução): condutividade térmica do metal \,k_{metal}=400\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}, diâmetro interno \,D_i=0{,}50\\ \mathrm{m} e diâmetro externo \,D_o=0{,}51\\ \mathrm{m}.
  • Tubo externo: diâmetro interno \,D_{shell}=0{,}80\\ \mathrm{m} e está isolado externamente (ou seja, não há perda de calor para o ambiente).
  • Viscosidade dinâmica da solução: \,\mu=0{,}455\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Instrução: considerar a condutividade térmica e o número de Prandtl desta solução como os valores da água na temperatura de saída do fluido concentrado (ou seja, nas condições de produto).
  • Objetivos finais: calcular (1) consumo de vapor (massa/h) e (2) área de troca térmica necessária (m²).
Observações importantes que vou adotar (porque são necessárias para completar a resolução e o enunciado não deu explicitamente):
  • Vou assumir densidade da solução \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico; se você tiver outro valor, a conta do coeficiente convectivo interno muda um pouco).
  • Vou obter as temperaturas de saturação aproximadas a partir de tabelas de vapor: saturação a \,475{,}8\\ \mathrm{kPa} (vapor de aquecimento) e a \,47{,}39\\ \mathrm{kPa} (pressão do evaporador); esses valores vou aproximar numericamente (explicarei como e justificarei as aproximações).
  • Vou aproximar o calor latente da vaporização na pressão do evaporador e o calor latente do vapor de alimentação (condensação) por valores típicos de tabelas de vapor; explicarei e indicarei os valores usados.
  • Para o cálculo do coeficiente convectivo interno vou usar correlação de escoamento turbulento (Dittus–Boelter), usando Pr da água a temperatura de produto e a viscosidade fornecida.
  • A resistência térmica do tubo metálico é muito pequena (espessura de 0{,}01\\ \mathrm{m}), então normalmente ela é desprezível em comparação com as convecções; mesmo assim vou calculá-la.
Passo seguinte: montar balanço de massa para obter a água evaporada e depois o balanço de energia para obter o calor necessário; a partir do calor e do coeficiente global U calculo a área. Vamos lá.

Passo 2

Balanço de massa (parte essencial e simples): determinar a vazão de vapor produzido (água evaporada) a partir das concentrações.
  • Vazão mássica de alimentação: \,F=7500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Sólidos na alimentação: m_{s} = x_F F = 0{,}05\cdot 7500 = 375\\ \mathrm{kg/h}.
  • Produto final a \,x_P=0{,}15: vazão mássica do produto
P=\frac{m_s}{x_P}=\frac{375}{0{,}15}=2500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vapor (água) evaporado (vazão de vapor gerada pelo evaporador), por balanço de massa:
V = F - P = 7500 - 2500 = 5000\\ \mathrm{kg/h}.
Então, para concentrar de 5\% para 15\% com essa alimentação são evaporados \,5000\\ \mathrm{kg/h} de água.
(Esse é um passo crucial: o resultado \,V=5000\\ \mathrm{kg/h} é a quantidade de água removida do líquido. A seguir preciso saber a energia necessária para aquecer a alimentação até ebulição e vaporizar essa água.)

Passo 3

Temperaturas de saturação e calores latentes (aproximações a partir de tabelas de vapor).
  • Pressão de aquecimento (vapor): \,P_{steam}=475{,}8\\ \mathrm{kPa}=0{,}4758\\ \mathrm{MPa}.
    Saturação correspondente (tabela de vapor): vou aproximar T_{steam,sat}\approx 149{,}8^\circ\mathrm{C}.(justificativa: em tabelas, a T_{sat} em 0{,}4\\ \mathrm{MPa} é \approx143{,}6^\circ\mathrm{C} e em 0{,}5\\ \mathrm{MPa} é \approx151{,}8^\circ\mathrm{C}; interpolando para 0{,}4758\\ \mathrm{MPa} resulta ~ 149{,}8^\circ\mathrm{C}.)
  • Pressão do evaporador: \,P_{evap}=47{,}39\\ \mathrm{kPa}=0{,}04739\\ \mathrm{MPa}.
    Saturação correspondente: T_{b}=T_{sat}(P_{evap})\approx 79{,}9^\circ\mathrm{C}.(justificativa: em tabelas, T_{sat} em 0{,}04\\ \mathrm{MPa} é ~ 75{,}8^\circ\mathrm{C} e em 0{,}05\\ \mathrm{MPa} ~ 81{,}3^\circ\mathrm{C}; interpolando dá ~ 79{,}9^\circ\mathrm{C}.)
  • Diferença de temperatura entre vapor de aquecimento e ebulição do líquido (força motriz de temperatura para evaporação): \Delta T_{steam} = T_{steam,sat} - T_{b} \approx 149{,}8 - 79{,}9 = 69{,}9^\circ\mathrm{C}.
Calores latentes (aproximações típicas de tabelas; valores arredondados que são comumente usados em cálculos de engenharia):
  • Calor latente à pressão do evaporador (vapor gerado no evaporador): vou usar \lambda_{evap} \approx 2450\\ \mathrm{kJ/kg}(justificativa: em baixa pressão (~0,05 MPa) o calor latente é maior que o valor a 1 atm; tabela típica nesta faixa dá algo entre 2400–2470 kJ/kg; escolhi 2450 kJ/kg).
  • Calor latente do vapor de alimentação (vapor que condensa na superfície de aquecimento) à pressão do vapor de alimentação: \lambda_{steam} \approx 2100\\ \mathrm{kJ/kg}(justificativa: a 0,4758 MPa o calor latente já é menor que em pressão baixa; valores típicos de tabela na faixa de 0,4–0,5 MPa dão \lambda em torno de 2050–2150 kJ/kg; escolhi 2100 kJ/kg).
Obs.: usei aproximações razoáveis de tabelas de vapor. Se você tiver tabelas precisas, substitua \lambda_{evap} e \lambda_{steam} pelos valores exatos; isso altera proporcionalmente o consumo de vapor.

Passo 4

Balanço de energia: separar em duas parcelas de calor que o vapor tem que fornecer:
  • aquecimento da alimentação de 25^\circ\mathrm{C} até a temperatura de ebulição T_b (calor sensível),
  • vaporização da água (calor latente) correspondente a V.
Converter vazões para unidades por segundo (para usar kW):
  • F=7500\\ \mathrm{kg/h} = \dfrac{7500}{3600} = 2{,}08333\\ \mathrm{kg/s}.
  • V = 5000\\ \mathrm{kg/h} = \dfrac{5000}{3600} = 1{,}38889\\ \mathrm{kg/s}.
Calor sensível (aquecimento da massa total F de 25 até T_b):
\Delta T_{sens} = T_b - 25 = 79{,}9 - 25 = 54{,}9^\circ\mathrm{C}.
\dot Q_{sens} = \dot m_F \, c_p \, \Delta T_{sens} = 2{,}08333\cdot 3{,}4\cdot 54{,}9\\ \mathrm{kW}
(obs.: c_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \dot m em \mathrm{kg/s} dá kW diretamente).
Calculemos:
\dot Q_{sens} = 2{,}08333 \cdot 3{,}4 \cdot 54{,}9 \approx 388{,}9\\ \mathrm{kW}.
Calor de vaporização (energia para evaporar V):
\dot Q_{evap} = \dot m_V \cdot \lambda_{evap} = 1{,}38889 \cdot 2450 \approx 3402{,}8\\ \mathrm{kW}.
Total de calor requerido do vapor:
\dot Q_{total} = \dot Q_{sens} + \dot Q_{evap} \approx 388{,}9 + 3402{,}8 = 3791{,}7\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Cálculo do consumo de vapor (massa de vapor fornecida pelo aquecedor) a partir do calor total requerido e do calor fornecido por condensação do vapor de alimentação:
  • Calor liberado por 1 kg de vapor que condensa a 475{,}8\\ \mathrm{kPa}: \lambda_{steam}\approx 2100\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Portanto vazão de vapor (kg/s):
\dot m_{steam} = \frac{\dot Q_{total}}{\lambda_{steam}} = \frac{3791{,}7\\ \mathrm{kW}}{2100\\ \mathrm{kJ/kg}} = \frac{3791{,}7\\ \mathrm{kJ/s}}{2100\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 1{,}8065\\ \mathrm{kg/s}.
Convertendo para \mathrm{kg/h}:
\dot M_{steam} = 1{,}8065\cdot 3600 \approx 6503\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário intuitivo: faz sentido que a massa de vapor necessária seja maior que a massa de água evaporada, porque parte do vapor provê calor sensível (aquecimento) além do próprio calor de vaporização; e porque \lambda_{steam} e \lambda_{evap} não são iguais nas pressões distintas.

Passo 6

Agora preciso estimar a área de troca térmica necessária. Estruturei o problema em duas zonas (como é usual em projeto de evaporadores):
  • Zona 1 (pré-aquecimento): aquecimento da solução de 25^\circ\mathrm{C} até T_b (única fase).
  • Zona 2 (evaporação): líquido em ebulição a T_b onde ocorre mudança de fase (vaporização); a temperatura do fluido na zona de ebulição é praticamente constante \,T_b.
Para estimar a área uso a equação geral:
\dot Q = U A \, \Delta T_{LM}
onde U é o coeficiente global de transferência térmica (W/m²K), A a área e \Delta T_{LM} o log-mean temperature difference apropriado para a seção.
Logo preciso estimar U. Vou calcular um U baseado nas resistências térmicas em série: convecção interna (solução), condução através da parede do tubo metálico e convecção externa (condensação do vapor). Em muitos casos práticos a resistência externa (condensação do vapor) é muito pequena (coeficiente de película de condensação é grande) e a resistência interna domina; vou demonstrar isso numericamente.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo interno h_i (solução dentro do tubo).
Dados geométricos:
  • Diâmetro interno do tubo onde circula o fluido: \,D_i=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do tubo: \,D_{metal}=0{,}51\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica total que atravessa o interior do tubo: \dot m_F=2{,}08333\\ \mathrm{kg/s}.
  • Área interna transversal do tubo:
A_c = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi (0{,}5)^2}{4} \approx 0{,}19635\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média do fluido no tubo (assumindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}):
v = \frac{\dot m_F}{\rho A_c} = \frac{2{,}08333}{1000\cdot 0{,}19635} \approx 0{,}01061\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D_i}{\mu} = \frac{1000\cdot 0{,}01061 \cdot 0{,}5}{0{,}455\times 10^{-3}} \approx 1{,}166\times 10^{4}.
Isso indica escoamento turbulento (Re > 4000).
Para o cálculo de h_i uso a correlação de Dittus–Boelter (válida para escoamento turbulento totalmente desenvolvido e para tubos):
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde n=0{,}4 se o fluido está sendo aquecido (este é o caso: o fluido é aquecido até o ponto de ebulição). O enunciado pede usar o número de Prandtl e condutividade como os da água à temperatura de saída (produto), i.e., em torno de T_b\approx 80^\circ\mathrm{C}. Valores típicos da água a 80^\circ\mathrm{C}:
  • condutividade térmica k \approx 0{,}67\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (vou usar esse valor),
  • \mathrm{Pr}\approx 1{,}75.
Calcule \mathrm{Nu}:
\mathrm{Re}^{0{,}8} = (1{,}166\times 10^4)^{0{,}8} \approx 1{,}807\times 10^3,
\mathrm{Pr}^{0{,}4} = 1{,}75^{0{,}4} \approx 1{,}251.
\mathrm{Nu} = 0{,}023 \cdot 1807 \cdot 1{,}251 \approx 52{,}02.
Coeficiente convectivo interno:
h_i = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_i} = \frac{52{,}02\cdot 0{,}67}{0{,}5} \approx 69{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Esse valor é razoavelmente baixo (diâmetro grande e velocidade baixa), então a resistência interna pode ser dominante.

Passo 8

Resistência do tubo metálico e convecção externa (condensação).
  • Resistência de condução através da parede cilíndrica por unidade de comprimento:
R_{wall}' = \frac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi k_{metal}}
onde D_o=0{,}51\\ \mathrm{m}, D_i=0{,}50\\ \mathrm{m}, k_{metal}=400\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
\ln\left(\frac{0{,}51}{0{,}50}\right) \approx 0{,}019802,
R_{wall}' \approx \frac{0{,}019802}{2\pi\cdot 400} \approx 7{,}88\times 10^{-6}\\ \mathrm{K\cdot m/W}
(por unidade de comprimento). É negligivelmente pequeno comparado às resistências convectivas.
  • Resistência convectiva externa: para condensação de vapor saturado na superfície externa do tubo (filme de condensação), o coeficiente de convecção externo h_o é normalmente muito grande comparado a convecção de escoamento interno. Sem fazer a teoria de Nusselt para filme, é suficiente estimar que h_o é muito maior que h_i (por exemplo, valores típicos de condensação variam milhares a dezenas de milhares \mathrm{W/(m^2K)}). Mesmo se eu tomasse um valor conservador h_o=2000\\ \mathrm{W/(m^2K)}, veremos que a resistência convertida para a área interna é pequena.
Para determinar o coeficiente global U baseado em área interna A_i=\pi D_i L, a relação é (forma padrão para parede cilíndrica):
\frac{1}{U_i} = \frac{1}{h_i} + \frac{D_i}{2k_{metal}}\ln\!\left(\frac{D_o}{D_i}\right) + \frac{D_i}{D_o}\cdot\frac{1}{h_o}.
Vamos avaliar numericamente usando h_i\approx 69{,}7\\ \mathrm{W/m^2K} e supondo um valor conservador h_o=2000\\ \mathrm{W/m^2K} apenas para verificar influência:
  • Primeiro termo: 1/h_i \approx 1/69{,}7 \approx 0{,}01435\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Segundo termo (parede): já calculado em forma multiplicada
\frac{D_i}{2k}\ln\!\left(\frac{D_o}{D_i}\right) = \frac{0{,}5}{2\cdot 400}\cdot 0{,}019802 \approx 1{,}238\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2K/W}
(negligível).
  • Terceiro termo:
\frac{D_i}{D_o}\cdot\frac{1}{h_o} = \frac{0{,}5}{0{,}51}\cdot\frac{1}{2000} \approx 0{,}0004902\\ \mathrm{m^2K/W}.
Somando:
\frac{1}{U_i}\approx 0{,}01435 + 0{,}0004902 + 1{,}24\times 10^{-5} \approx 0{,}01485\\ \mathrm{m^2K/W}.
Portanto
U_i \approx \frac{1}{0{,}01485} \approx 67{,}3\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Conclusão: a resistência interna domina e o valor de U fica da ordem de 67\text{–}70\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Para simplificar as contas seguintes vou usar
U \approx 70\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
(Se você tivesse um valor mais preciso de h_o ou propriedades reais da solução, o valor de U poderia ser refinado; aqui o importante é que U é do mesmo nível de h_i porque a parede é fina e h_o é grande.)

Passo 9

Cálculo das áreas necessárias separadas para aquecimento sensível (zona 1) e para evaporação (zona 2).
Dados:
  • \dot Q_{sens}\approx 388{,}9\\ \mathrm{kW}.
  • \dot Q_{evap}\approx 3402{,}8\\ \mathrm{kW}.
  • U\approx 70\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • T_{steam,sat} \approx 149{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de entrada do líquido T_{in}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de ebulição T_b\approx 79{,}9^\circ\mathrm{C}.
Zona 1 — aquecimento sensível: o fluido aquece de T_{in} até T_b; o fluido está em uma única fase e o vapor tem temperatura constante (= T_{steam,sat}). Aqui uso LMTD:
  • \Delta T_1 = T_{steam,sat} - T_{in} = 149{,}8 - 25 = 124{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • \Delta T_2 = T_{steam,sat} - T_b = 149{,}8 - 79{,}9 = 69{,}9^\circ\mathrm{C}.
    Log-mean temperature difference:
\Delta T_{LM,heat} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} = \frac{124{,}8 - 69{,}9}{\ln(124{,}8/69{,}9)} = \frac{54{,}9}{\ln(1{,}785)} \approx \frac{54{,}9}{0{,}579} \approx 94{,}9^\circ\mathrm{C}.
Área para aquecimento sensível:
A_{heat} = \frac{\dot Q_{sens}}{U\,\Delta T_{LM,heat}} = \frac{388{,}900\\ \mathrm{W}}{70\cdot 94{,}9} \approx 58{,}6\\ \mathrm{m^2}.
Zona 2 — evaporação (mudança de fase): o fluido permanece a T_b, o vapor mantém T_{steam,sat}, então a diferença de temperatura é praticamente constante \Delta T = T_{steam,sat}-T_b = 69{,}9^\circ\mathrm{C}. Logo:
A_{evap} = \frac{\dot Q_{evap}}{U\,\Delta T} = \frac{3{,}402{,}800\\ \mathrm{W}}{70\cdot 69{,}9} \approx 695{,}3\\ \mathrm{m^2}.
Área total necessária:
A_{total} = A_{heat} + A_{evap} \approx 58{,}6 + 695{,}3 \approx 753{,}9\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando com duas ou três algarismos significativos: A_{total}\approx 754\\ \mathrm{m^2}.

Passo 10

Recapitulando pressupostos e incertezas (rápido e amigável):
  • Usei aproximações de tabelas de vapor para T_{sat} e \lambda. Se você usar tabelas precisas as respostas mudam levemente.
  • Pressupus densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} para cálculo de velocidade; um valor diferente altera h_i e, portanto, U e as áreas. Como h_i é o fator limitante, se a densidade real for bem maior (por exemplo soluções muito mais densas), h_i aumentaria e a área diminuiria.
  • Assumi que o vapor condensa à temperatura de saturação sem queda considerável da temperatura de condensado (sem sub-resfriamento significativo).
  • A resistência do tubo metálico é desprezível (praticamente confirmada pelos cálculos).
  • Se precisar, posso refazer com valores de propriedades mais precisos (densidade da solução, k e \mathrm{Pr} exatos a 80^\circ\mathrm{C}, valores exatos de \lambda e T_{sat} a partir de tabelas).
Força — já demos uma boa passada: massa de vapor e área estimadas com justificativas claras. Agora só te entrego a resposta final formatada como você pediu.

Resposta

6503 \mathrm{kg/h} (consumo de vapor, aproximado)
754 \mathrm{m^2} (área total de troca térmica necessária, aproximada)

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