Exercício 0.9 Resolva as inequações em x
1<e^{3 x^{2}-1}<2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação em x:
1 < e^{3x^{2}-1} < 2.
O que precisamos encontrar é o conjunto de todos os valores de x que tornam verdadeira essa dupla desigualdade. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da exponencial é 3x^{2}-1.
  • A função exponencial e^{t} é sempre positiva para todo t.
  • A desigualdade é uma desigualdade em cadeia com três termos: 1, e^{3x^{2}-1} e 2.
    A partir daqui vamos manipular essa desigualdade passo a passo até isolar x.

Passo 2

Primeiro, uma ideia importante (aula curta): a função \exp(t)=e^{t} é estritamente crescente. Isso significa que, se a<b, então e^{a}<e^{b}. Como consequência, a função inversa \ln(t) (logaritmo natural) também é estritamente crescente no domínio (0,\infty). Logo, podemos aplicar \ln em toda a desigualdade sem trocar sinais ou ordem, desde que as partes onde aplicamos \ln sejam positivas. Aqui 1>0 e 2>0 e e^{3x^{2}-1}>0, então é seguro aplicar \ln. Aplicando \ln ao triplo:
\ln(1) < \ln\bigl(e^{3x^{2}-1}\bigr) < \ln(2).
Agora use a propriedade \ln(e^{y})=y para simplificar o termo do meio:
\ln(1) < 3x^{2}-1 < \ln(2).

Passo 3

Calcule \ln(1). Sabemos que \ln(1)=0. Assim a desigualdade fica
0 < 3x^{2}-1 < \ln(2).
Agora vamos isolar x^{2}. Primeiro somamos 1 a todos os membros:
0+1 < 3x^{2}-1+1 < \ln(2)+1,
ou seja
1 < 3x^{2} < 1+\ln(2).
Em seguida dividimos toda a desigualdade por 3. Como 3>0, a divisão preserva a ordem:
\frac{1}{3} < x^{2} < \frac{1+\ln(2)}{3}.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade para x. Quando temos \frac{1}{3} < x^{2} < \frac{1+\ln(2)}{3} com ambos os limites positivos, podemos passar para valores absolutos:
\sqrt{\frac{1}{3}} < |x| < \sqrt{\frac{1+\ln(2)}{3}}.
Explicando bem: x^{2}>a>0 é equivalente a |x|>\sqrt{a}. E x^{2}<b é equivalente a |x|<\sqrt{b}. Combinando as duas obtemos a desigualdade dupla acima. Agora traduzimos |x| em intervalos para x. A desigualdade \alpha<|x|<\beta (com 0<\alpha<\beta) é equivalente à união de dois intervalos:
-\beta < x < -\alpha \qquad\text{ou}\qquad \alpha < x < \beta.
Aplicando aqui \alpha=\sqrt{\tfrac{1}{3}} e \beta=\sqrt{\tfrac{1+\ln(2)}{3}}, obtemos
-\sqrt{\frac{1+\ln(2)}{3}} < x < -\sqrt{\frac{1}{3}} \qquad\text{ou}\qquad \sqrt{\frac{1}{3}} < x < \sqrt{\frac{1+\ln(2)}{3}}.

Passo 5

Vamos também dar uma ideia numérica rápida (sem usar calculadora avançada, só para ter noção):
\ln(2)\approx 0{,}693147\quad\Rightarrow\quad \frac{1+\ln(2)}{3}\approx 0{,}564382.
Portanto
\sqrt{\frac{1}{3}}\approx 0{,}57735,\qquad \sqrt{\frac{1+\ln(2)}{3}}\approx 0{,}75126.
Assim, numericamente a solução é aproximadamente
-0{,}75126 < x < -0{,}57735\quad\text{ou}\quad 0{,}57735 < x < 0{,}75126.

Resposta

-\sqrt{\dfrac{1+\ln(2)}{3}}<x<-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ \cup\\ \sqrt{\dfrac{1}{3}}<x<\sqrt{\dfrac{1+\ln(2)}{3}}
-0{,}75126\ldots < x < -0{,}57735\ldots\\ \cup\\\ 0{,}57735\ldots < x < 0{,}75126\ldots