Exercício 0.9 Resolva as inequações em
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação em
:
O que precisamos encontrar é o conjunto de todos os valores de
que tornam verdadeira essa dupla desigualdade. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro da exponencial é
. - A função exponencial
é sempre positiva para todo . - A desigualdade é uma desigualdade em cadeia com três termos:
, e .
A partir daqui vamos manipular essa desigualdade passo a passo até isolar.
Passo 2
Primeiro, uma ideia importante (aula curta): a função
é estritamente crescente. Isso significa que, se
, então
. Como consequência, a função inversa
(logaritmo natural) também é estritamente crescente no domínio
. Logo, podemos aplicar
em toda a desigualdade sem trocar sinais ou ordem, desde que as partes onde aplicamos
sejam positivas. Aqui
e
e
, então é seguro aplicar
. Aplicando
ao triplo:
Agora use a propriedade
para simplificar o termo do meio:
Passo 3
Calcule
. Sabemos que
. Assim a desigualdade fica
Agora vamos isolar
. Primeiro somamos
a todos os membros:
ou seja
Em seguida dividimos toda a desigualdade por
. Como
, a divisão preserva a ordem:
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade para
. Quando temos
com ambos os limites positivos, podemos passar para valores absolutos:
Explicando bem:
é equivalente a
. E
é equivalente a
. Combinando as duas obtemos a desigualdade dupla acima. Agora traduzimos
em intervalos para
. A desigualdade
(com
) é equivalente à união de dois intervalos:
Aplicando aqui
e
, obtemos
Passo 5
Vamos também dar uma ideia numérica rápida (sem usar calculadora avançada, só para ter noção):
Portanto
Assim, numericamente a solução é aproximadamente