Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
2^{2 x}+2^{x+1}=80

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial
2^{2x}+2^{x+1}=80
e pede para encontrar todas as soluções reais x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes: a base das potências é 2; o termo 2^{2x} envolve um expoente que é o dobro de x; o termo 2^{x+1} é uma potência de 2 com expoente x+1. A tarefa é achar os valores de x que tornam a expressão verdadeira.

Passo 2

Observação sobre potências que vamos usar (aulas rápidas para lembrar o que serve aqui):
  • Regra: (a^b)^c = a^{bc}. Em particular, 2^{2x} = (2^x)^2. Isso significa que podemos ver 2^{2x} como o quadrado de 2^x.
  • Regra: a^{b+c} = a^b \cdot a^c. Em particular, 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2\cdot 2^x.
    Essas duas observações sugerem que é conveniente fazer uma substituição para transformar a equação exponencial em uma equação polinomial (mais fácil de resolver).

Passo 3

Façamos a substituição natural:
seja y = 2^x. Como explicado, 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 e 2^{x+1} = 2\cdot 2^x = 2y.
Substituindo na equação original obtemos a equação em y:
y^2 + 2y = 80

Passo 4

Transforme a equação em uma forma padrão de quadrática, subtraindo 80 dos dois lados:
y^2 + 2y - 80 = 0
Agora vamos resolver essa quadrática. Podemos tentar fatorar em dois binômios porque os coeficientes são inteiros razoáveis.

Passo 5

Procuramos dois números cujo produto seja -80 e cuja soma seja 2. Esses números são 10 e -8, pois 10\cdot(-8)=-80 e 10+(-8)=2. Então a fatoração é
y^2 + 2y - 80 = (y+10)(y-8).
Portanto as soluções para y são as raízes dos fatores:
y+10=0 \quad\text{ou}\quad y-8=0,
ou seja
y=-10 \quad\text{ou}\quad y=8.

Passo 6

Lembrete importante sobre a substituição: y foi definido como y=2^x. A função exponencial 2^x é sempre positiva para todo x real, isto é, 2^x>0. Assim a solução y=-10 é impossível (extrânea) porque não existe x tal que 2^x=-10. Portanto só podemos aceitar
y=8.

Passo 7

Voltando à variável x: temos 2^x = 8. Reconhecemos que 8 é uma potência de 2: 8 = 2^3. Portanto
2^x = 2^3 \implies x = 3.
(Alternativamente, poderíamos aplicar logaritmo: x=\log_2 8=3.)

Passo 8

Vamos checar rapidamente substituindo x=3 na equação inicial para confirmar:
2^{2\cdot 3}+2^{3+1}=2^{6}+2^{4}=64+16=80,
que é verdade. Então x=3 é realmente solução.

Resposta

x=3