Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação exponencial
e pede para encontrar todas as soluções reais
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes: a base das potências é
; o termo
envolve um expoente que é o dobro de
; o termo
é uma potência de
com expoente
. A tarefa é achar os valores de
que tornam a expressão verdadeira.
Passo 2
Observação sobre potências que vamos usar (aulas rápidas para lembrar o que serve aqui):
- Regra:
. Em particular, . Isso significa que podemos ver como o quadrado de . - Regra:
. Em particular, .
Essas duas observações sugerem que é conveniente fazer uma substituição para transformar a equação exponencial em uma equação polinomial (mais fácil de resolver).
Passo 3
Façamos a substituição natural:
seja . Como explicado,
e
.
Substituindo na equação original obtemos a equação em :
seja
Substituindo na equação original obtemos a equação em
Passo 4
Transforme a equação em uma forma padrão de quadrática, subtraindo
dos dois lados:
Agora vamos resolver essa quadrática. Podemos tentar fatorar em dois binômios porque os coeficientes são inteiros razoáveis.
Passo 5
Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, pois
e
. Então a fatoração é
Portanto as soluções para
são as raízes dos fatores:
ou seja
Passo 6
Lembrete importante sobre a substituição:
foi definido como
. A função exponencial
é sempre positiva para todo
real, isto é,
. Assim a solução
é impossível (extrânea) porque não existe
tal que
. Portanto só podemos aceitar
Passo 7
Voltando à variável
: temos
. Reconhecemos que
é uma potência de
:
. Portanto
(Alternativamente, poderíamos aplicar logaritmo:
.)
Passo 8
Vamos checar rapidamente substituindo
na equação inicial para confirmar:
que é verdade. Então
é realmente solução.