Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede é encontrar a solução
que satisfaz essa equação e que passa por
com
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
, e a derivada . - A condição inicial é
. - O ponto inicial tem
(isso será útil ao lidar com valores absolutos).
Passo 2
Vamos reescrever a equação de modo mais explícito para facilitar a análise:
Observação útil (para quem tem medo de substituição): percebe-se que as parcelas têm homogeneidade de grau
em
porque
é da mesma ordem que
e
. Isso sugere tentar a substituição de tipo homogêneo
onde
. Essa substituição costuma simplificar expressões do tipo
homogêneas, transformando a EDO em uma para
em termos de
.
Passo 3
Calculemos a derivada
usando
. Aplicando a regra do produto:
Também note que
Como a condição inicial tem
, podemos trabalhar no ramo
e substituir
. Substituindo tudo na equação original:
Simplificando (cancelando
dos dois lados):
Dividindo por
(novamente usando
):
Passo 4
A equação obtida é separável. Separe as variáveis
e
:
Agora integramos ambos os lados. É importante saber uma antiderivada padrão:
- Uma primitiva de
é , que também pode ser escrita como . Aqui significa o arco-hiperbólico seno de .
Integrando:
Como antes estamos em
, usamos
, ficando
Passo 5
Converteremos a expressão em forma exponencial (usando
):
Exponenciando:
Denote
. Então
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial para determinar
. Em
temos
, logo
Calculemos
explicitamente para achar
. Usando a identidade
:
Pela fórmula integrada
, substituindo
e
:
Portanto a relação integrada fica
Voltando à forma exponencial:
Passo 7
A partir de
pode-se isolar
. Uma forma conveniente é reconhecer que
. Alternativamente, manipular algebraicamente usando exponenciais hiperbólicas dá
Lembre-se que
, então a solução
é obtida multiplicando
por
. (A expressão final simplificada está na seção de resposta.)