Exercício 2 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial
\left(y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)-x \frac{d y}{d x}=0, y(\sqrt{3})=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\left(y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)-x \frac{d y}{d x}=0, \qquad y(\sqrt{3})=1.
O que se pede é encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação e que passa por x=\sqrt{3} com y=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona y, \sqrt{x^{2}+y^{2}} e a derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • A condição inicial é \;y(\sqrt{3})=1.
  • O ponto inicial tem x=\sqrt{3}>0 (isso será útil ao lidar com valores absolutos).

Passo 2

Vamos reescrever a equação de modo mais explícito para facilitar a análise:
x\frac{dy}{dx}=y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observação útil (para quem tem medo de substituição): percebe-se que as parcelas têm homogeneidade de grau 1 em (x,y) porque \sqrt{x^{2}+y^{2}} é da mesma ordem que x e y. Isso sugere tentar a substituição de tipo homogêneo
y=vx,
onde v=v(x). Essa substituição costuma simplificar expressões do tipo f(x,y) homogêneas, transformando a EDO em uma para v em termos de x.

Passo 3

Calculemos a derivada dy/dx usando y=vx. Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Também note que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+v^{2}x^{2}}=\sqrt{x^{2}(1+v^{2})}=|x|\sqrt{1+v^{2}}.
Como a condição inicial tem x=\sqrt{3}>0, podemos trabalhar no ramo x>0 e substituir |x|=x. Substituindo tudo na equação original:
x\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=vx - x\sqrt{1+v^{2}}.
Simplificando (cancelando vx dos dois lados):
x^{2}\frac{dv}{dx}=-x\sqrt{1+v^{2}}.
Dividindo por x (novamente usando x>0):
x\frac{dv}{dx}=-\sqrt{1+v^{2}}.

Passo 4

A equação obtida é separável. Separe as variáveis v e x:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}}=-\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. É importante saber uma antiderivada padrão:
  • Uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} é \operatorname{arsinh}(v), que também pode ser escrita como \ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big). Aqui \operatorname{arsinh}(v) significa o arco-hiperbólico seno de v.
    Integrando:
\operatorname{arsinh}(v) = -\ln|x| + C.
Como antes estamos em x>0, usamos \ln|x|=\ln x, ficando
\operatorname{arsinh}(v) = -\ln x + C.

Passo 5

Converteremos a expressão em forma exponencial (usando \operatorname{arsinh}(v)=\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)):
\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big) = -\ln x + C.
Exponenciando:
v+\sqrt{1+v^{2}} = e^{C}\,\frac{1}{x}.
Denote e^{C}=K>0. Então
v+\sqrt{1+v^{2}}=\frac{K}{x}.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial para determinar K. Em x=\sqrt{3} temos y=1, logo
v\big(\sqrt{3}\big)=\frac{y(\sqrt{3})}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Calculemos \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) explicitamente para achar C. Usando a identidade \operatorname{arsinh}(z)=\ln\!\big(z+\sqrt{1+z^{2}}\big):
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{1+\frac{1}{3}}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{4}{3}}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \ln\!\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right) = \ln(\sqrt{3}).
Pela fórmula integrada \operatorname{arsinh}(v)=-\ln x + C, substituindo v=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e x=\sqrt{3}:
\ln(\sqrt{3}) = -\ln(\sqrt{3}) + C \quad\Rightarrow\quad C = 2\ln(\sqrt{3}) = \ln 3.
Portanto a relação integrada fica
\operatorname{arsinh}(v) = -\ln x + \ln 3 = \ln\!\left(\frac{3}{x}\right).
Voltando à forma exponencial:
v+\sqrt{1+v^{2}}=\frac{3}{x}.

Passo 7

A partir de
v+\sqrt{1+v^{2}}=\frac{3}{x}
pode-se isolar v. Uma forma conveniente é reconhecer que v=\operatorname{sinh}\!\big(\ln(3/x)\big). Alternativamente, manipular algebraicamente usando exponenciais hiperbólicas dá
v=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x}-\frac{x}{3}\right).
Lembre-se que y=vx, então a solução y(x) é obtida multiplicando v por x. (A expressão final simplificada está na seção de resposta.)

Resposta

\displaystyle y=\frac{9-x^{2}}{6},\quad x>0