Exercício 2.7:

Seja a \in \mathbb{Z} tal que 3 não divide a. Prove que 3 \mid(a+1) ou 3 \mid(a+(-1)).
Conclua que 3 \mid(a+1)(a+(-1)).

Passo 1

O enunciado dá: a é um inteiro tal que 3 \nmid a (ou seja, a não é múltiplo de 3). As perguntas são:
  • Mostrar que 3 \mid (a+1) ou 3 \mid (a-1).
  • Concluir que 3 \mid (a+1)(a-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • a\in\mathbb{Z}.
  • 3\nmid a.

Passo 2

Vou usar o Algoritmo da Divisão (casamento ótimo para essa ideia): para qualquer inteiro a existe um inteiro q e um resto r com 0\le r\le2 tal que
a = 3q + r.
Aqui q é o quociente na divisão de a por 3 e r é o resto (que pode ser 0,1 ou 2). Isso só formaliza a ideia de que ao dividir por 3 o resto é 0, 1 ou 2.

Passo 3

Como o enunciado afirma que 3\nmid a, o resto r não pode ser 0. Logo sobram apenas as possibilidades
r=1 \quad\text{ou}\quad r=2.
Vou analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso r=1. Então, pela expressão da divisão,
a = 3q + 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
a-1 = 3q.
Isto mostra que a-1 é um múltiplo de 3, ou seja,
3 \mid (a-1).
Em palavras: se o resto é 1, então a-1 é divisível por 3.

Passo 5

Caso r=2. Então
a = 3q + 2.
Somando 1 a ambos os lados:
a+1 = 3q + 3 = 3(q+1).
Isto mostra que a+1 é múltiplo de 3, ou seja,
3 \mid (a+1).
Em palavras: se o resto é 2 (que é congruente a -1 módulo 3), então a+1 é divisível por 3.

Passo 6

Dos passos anteriores segue que, obrigatoriamente (porque r é 1 ou 2), vale uma das alternativas
3 \mid (a-1)\quad\text{ou}\quad 3 \mid (a+1).
Logo um dos fatores (a-1) ou (a+1) é múltiplo de 3. Se um divisor d divide um dos fatores de um produto, então d divide o produto; portanto
3 \mid (a-1)(a+1).

Passo 7

Observação alternativa (curta, só para ver outra visão): em linguagem de congruências, 3\nmid a implica a\equiv\pm1\pmod{3}, então a^2\equiv1\pmod{3} e a^2-1\equiv0\pmod{3}. Como a^2-1=(a-1)(a+1), obtemos novamente 3\mid(a-1)(a+1). Escolhi a demonstração por restos porque é bem elementar e direta para prova em prova.

Resposta

3 \mid (a+1) ou 3 \mid (a-1)
3 \mid (a+1)(a-1)