Exercício 2.7:
Seja
tal que 3 não divide
. Prove que
ou
.
Conclua que
.
Conclua que
Passo 1
O enunciado dá:
é um inteiro tal que
(ou seja,
não é múltiplo de
). As perguntas são:
- Mostrar que
ou . - Concluir que
.
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
.
Passo 2
Vou usar o Algoritmo da Divisão (casamento ótimo para essa ideia): para qualquer inteiro
existe um inteiro
e um resto
com
tal que
Aqui
é o quociente na divisão de
por
e
é o resto (que pode ser
ou
). Isso só formaliza a ideia de que ao dividir por
o resto é 0, 1 ou 2.
Passo 3
Como o enunciado afirma que
, o resto
não pode ser
. Logo sobram apenas as possibilidades
Vou analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso
. Então, pela expressão da divisão,
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Isto mostra que
é um múltiplo de
, ou seja,
Em palavras: se o resto é
, então
é divisível por
.
Passo 5
Caso
. Então
Somando
a ambos os lados:
Isto mostra que
é múltiplo de
, ou seja,
Em palavras: se o resto é
(que é congruente a
módulo
), então
é divisível por
.
Passo 6
Dos passos anteriores segue que, obrigatoriamente (porque
é
ou
), vale uma das alternativas
Logo um dos fatores
ou
é múltiplo de
. Se um divisor
divide um dos fatores de um produto, então
divide o produto; portanto
Passo 7
Observação alternativa (curta, só para ver outra visão): em linguagem de congruências,
implica
, então
e
. Como
, obtemos novamente
. Escolhi a demonstração por restos porque é bem elementar e direta para prova em prova.