Exercício 9 Sejam f, g: I \rightarrow \mathbb{R} funções definidas em um intervalo aberto I e a \in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existirem os limites \lim _{x \rightarrow a} f(x) e \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)] então existirá o limite \lim _{x \rightarrow a} g(x).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Temos funções f,g: I \to \mathbb{R}, onde I é um intervalo aberto e a\in I.
  • Sabemos que existem os limites \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)].
  • A pergunta é: a partir dessas hipóteses, pode-se concluir que existe \lim_{x\to a} g(x)? Ou seja, a afirmação é verdadeira ou falsa? (É preciso justificar rigorosamente: demonstrar se for verdadeira, ou dar contra-exemplo se for falsa.)

Passo 2

Vou traduzir as hipóteses em símbolos e fixar notação (isso ajuda a organizar a prova e entender o que temos à mão).
  • Seja L o número definido por
L=\lim_{x\to a} f(x).
  • Seja M o número definido por
M=\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)].
Essas iguaisidades significam, por definição de limite (vou relembrar a definição em palavras e em forma \varepsilon- \delta):
  • A afirmação \lim_{x\to a} f(x)=L quer dizer: para todo \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta_1, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
  • A afirmação \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]=M quer dizer: para todo \varepsilon>0 existe \delta_2>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta_2, temos |f(x)+g(x)-M|<\varepsilon.
(Observação didática rápida: o símbolo 0<|x-a|<\delta indica que olhamos pontos x próximos, mas diferentes, de a.)

Passo 3

Estratégia da prova: escrever g(x) como diferença
g(x) = (f(x)+g(x)) - f(x),
e usar a propriedade que a diferença de duas funções tende ao número diferença dos seus limites sempre que esses dois limites existirem. Vou provar essa propriedade diretamente com a definição \varepsilon- \delta.
Queremos mostrar que existe o limite
\lim_{x\to a} g(x)
e, mais precisamente, que ele vale M-L.
Tomemos um \varepsilon>0 qualquer (a prova deve funcionar para todo \varepsilon>0). Como \lim_{x\to a} f(x)=L, existe \delta_1>0 tal que
0<|x-a|<\delta_1 \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]=M, existe \delta_2>0 tal que
0<|x-a|<\delta_2 \quad\Rightarrow\quad |f(x)+g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}.
Agora escolha
\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}.
Se 0<|x-a|<\delta, então tanto 0<|x-a|<\delta_1 quanto 0<|x-a|<\delta_2 valem, e assim temos simultaneamente
|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad |f(x)+g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}.
Usando a desigualdade triangular (que diz que |u-v|\le |u|+|v| para quaisquer u,v), calculemos a diferença entre g(x) e M-L:
\begin{aligned} |g(x)-(M-L)| &= \big|(f(x)+g(x)-M) - (f(x)-L)\big| \\\ &\le |f(x)+g(x)-M| + |f(x)-L|. \end{aligned}
Pelas estimativas acima, o lado direito é menor que \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. Logo, sempre que 0<|x-a|<\delta temos
|g(x)-(M-L)|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente, pela definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to a} g(x)=M-L.

Passo 4

Comentário interpretativo e resumo (pra te deixar mais seguro na prova):
  • A prova seguiu a ideia natural: escrever g como diferença de f+g e f. Se você sabe que cada um desses dois termos tem limite (respectivamente M e L), então a diferença tem limite igual a M-L. O passo essencial foi controlar o erro |g(x)-(M-L)| por meio da soma dos erros |f(x)+g(x)-M| e |f(x)-L|, e garantir que ambos fiquem pequenos ao mesmo tempo escolhendo \delta adequado (o mínimo dos dois \delta's).
  • Em linguagem mais direta: a afirmação do enunciado é verdadeira; o limite de g existe e é igual a \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] - \lim_{x\to a} f(x).
  • Dica prática para prova: ao ver algo do tipo “se \lim f e \lim (f+g) existem, então \lim g existe”, já pense em reescrever g=(f+g)-f e aplique o teorema de soma/diferença de limites ou faça o argumento \varepsilon- \delta como fiz acima, escolhendo \delta=\min(\delta_1,\delta_2).

Resposta

Verdadeira.