Exercício 9 Sejam f, g: I \rightarrow \mathbb{R} funções definidas em um intervalo aberto I e a \in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
Se existirem os limites \lim _{x \rightarrow a} f(x) e \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)] então existirá o limite \lim _{x \rightarrow a} g(x).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
Temos funções f,g: I \to \mathbb{R}, onde I é um intervalo aberto e a\in I.
Sabemos que existem os limites \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)].
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, pode-se concluir que existe \lim_{x\to a} g(x)? Ou seja, a afirmação é verdadeira ou falsa? (É preciso justificar rigorosamente: demonstrar se for verdadeira, ou dar contra-exemplo se for falsa.)
Passo 2
Vou traduzir as hipóteses em símbolos e fixar notação (isso ajuda a organizar a prova e entender o que temos à mão).
Seja L o número definido por
L=\lim_{x\to a} f(x).
Seja M o número definido por
M=\lim_{x\to a} [f(x)+g(x)].
Essas iguaisidades significam, por definição de limite (vou relembrar a definição em palavras e em forma \varepsilon-\delta):
A afirmação \lim_{x\to a} f(x)=L quer dizer: para todo \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta_1, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
A afirmação \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]=M quer dizer: para todo \varepsilon>0 existe \delta_2>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta_2, temos |f(x)+g(x)-M|<\varepsilon.
(Observação didática rápida: o símbolo 0<|x-a|<\delta indica que olhamos pontos x próximos, mas diferentes, de a.)
Passo 3
Estratégia da prova: escrever g(x) como diferença
g(x) = (f(x)+g(x)) - f(x),
e usar a propriedade que a diferença de duas funções tende ao número diferença dos seus limites sempre que esses dois limites existirem. Vou provar essa propriedade diretamente com a definição \varepsilon-\delta.
Queremos mostrar que existe o limite
\lim_{x\to a} g(x)
e, mais precisamente, que ele vale M-L.
Tomemos um \varepsilon>0 qualquer (a prova deve funcionar para todo \varepsilon>0). Como \lim_{x\to a} f(x)=L, existe \delta_1>0 tal que
Pelas estimativas acima, o lado direito é menor que \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. Logo, sempre que 0<|x-a|<\delta temos
|g(x)-(M-L)|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente, pela definição \varepsilon-\delta, que
\lim_{x\to a} g(x)=M-L.
Passo 4
Comentário interpretativo e resumo (pra te deixar mais seguro na prova):
A prova seguiu a ideia natural: escrever g como diferença de f+g e f. Se você sabe que cada um desses dois termos tem limite (respectivamente M e L), então a diferença tem limite igual a M-L. O passo essencial foi controlar o erro |g(x)-(M-L)| por meio da soma dos erros |f(x)+g(x)-M| e |f(x)-L|, e garantir que ambos fiquem pequenos ao mesmo tempo escolhendo \delta adequado (o mínimo dos dois \delta's).
Em linguagem mais direta: a afirmação do enunciado é verdadeira; o limite de g existe e é igual a \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] - \lim_{x\to a} f(x).
Dica prática para prova: ao ver algo do tipo “se \lim f e \lim (f+g) existem, então \lim g existe”, já pense em reescrever g=(f+g)-f e aplique o teorema de soma/diferença de limites ou faça o argumento \varepsilon-\delta como fiz acima, escolhendo \delta=\min(\delta_1,\delta_2).