Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
2^{1+\sqrt{3}} 4^{-\sqrt{12}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão 2^{1+\sqrt{3}}\,4^{-\sqrt{12}}.
Informações dadas: a expressão é um produto de potências com bases 2 e 4, e aparece a raiz \sqrt{12}.

Passo 2

Vamos simplificar a raiz \sqrt{12}. Fatoramos 12 em 4\cdot 3 e usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}.
Logo,
\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\,\sqrt{3}=2\sqrt{3}.

Passo 3

Substituindo \sqrt{12}=2\sqrt{3} na expressão obtemos
2^{1+\sqrt{3}}\,4^{-\sqrt{12}}=2^{1+\sqrt{3}}\,4^{-2\sqrt{3}}.

Passo 4

Escrevemos 4 como potência de 2: 4=2^2. Usando a propriedade (a^b)^c=a^{bc} temos
4^{-2\sqrt{3}}=(2^2)^{-2\sqrt{3}}=2^{2\cdot(-2\sqrt{3})}=2^{-4\sqrt{3}}.

Passo 5

Agora a expressão é produto de potências com a mesma base 2, então somamos os expoentes usando a^m a^n = a^{m+n}:
2^{1+\sqrt{3}}\,2^{-4\sqrt{3}}=2^{(1+\sqrt{3})+(-4\sqrt{3})}=2^{1+\sqrt{3}-4\sqrt{3}}.

Passo 6

Agrupando os termos com \sqrt{3}: \sqrt{3}-4\sqrt{3}=-3\sqrt{3}. Assim o expoente fica 1-3\sqrt{3} e a forma simplificada é
2^{1-3\sqrt{3}}.

Resposta

2^{1-3\sqrt{3}}